Практикум з основ диференціальної геометрії, де викладено основні теоретичні відомості та наведено приклади задач із розв'язками.

Посвящается современной и быстро развивающейся области геометрии — действию дискретных групп на многообразиях. Отражает происшедшую за последние десять лет эволюцию в теории гиперболических многообразий и дискретных групп преобразований (в частности, в n-мерном пространстве Лобачевского). Сейчас эта теория совершенно преобразилась, и решающую роль при этом сыграли основополагающие геометрические и топологические идеи, выдвинутые У. П. Тёрстоном, позволившие по-новому взглянуть на проблему классификации пространственных структур.

Теория особенностей дифференцируемых отображений — бурно развивающаяся область современной математики, являющаяся грандиозным обобщением исследования функций на максимум и минимум и имеющая многочисленные приложения н математике, естествознании и технике (так называемые теории бифуркаций и катастроф). Главы книги посвящены теории устойчивости гладких отображений, критическим точкам гладких функций, особенностям каустик и волновых фронтов в геометрической оптике. Книга является первой частью задуманной авторами большой монографии. Во второй части будут изложены алгебро-топологические аспекты теории. Книга рассчитана на математиков — от студентов второго курса до научных работников, а также на всех потребителей теории особенностей в механике, физике, технике и других науках.

Книга профессора Калифорнийского университета У. Бёрке написана на основе курса лекций для студентов, намеревающихся специализироваться в области космологии. В последнее время интерес к космологическим проблемам чрезвычайно возрос, и появление учебного пособия такой направленности закономерно и полезно. Книга содержит доступное младшекурсникам изложение основ специальной и общей теории относительности и элементарное введение в современную теорию строения Вселенной. По уровню сложности она находится примерно посередине между курсами общей и теоретической физики, принятыми в наших университетах. Описательному материалу отводится подчиненная роль. Основную свою задачу автор видит в физическом обосновании и более глубоком осмыслении геометрических структур, составляющих основу наших представлений о пространстве-времени. В отличие от большинства учебников такого уровня изложение в книге Бёрке, оставаясь элементарным, ведется на современном языке дифференциальной геометрии. Автору удалось найти удачный компромисс между степенью абстрактности применяемых математических средств и конкретным физическим содержанием. В книге много интересных и неожиданных примеров, выявляющих существо таких понятий, как метрика, системы отсчета, собственное время и т. д. Так, смысл метрики искривленного пространства-времени поясняется на основе анализа распространения волновых пакетов на поверхности воды: метрический тензор связывается с законом дисперсии выделенного типа волн. В этой «теории относительности для волн на воде» ход часов задается колебаниями поверхности жидкости, световые сигналы изображаются пакетами волн ряби, имеющих другой закон дисперсии. Эту задачу, кстати, читателю будет полезно вспомнить и при изучении квантовой механики. В название книги не случайно включено слово «геометрия». Довольно много места в ней уделено линейным пространствам, отображениям, дифференциальной геометрии многообразий. Автор пользуется языком линейных форм, безындексны

В этой книге излагается в элементарной форме основы теории кривых и поверхностей с помощью метода внешних форм Картана. Идеи этого метода изложены в объеме, достаточном для понимания основного материала. В конце каждой главы приведены задачи и вопросы. В комментариях В.А.Александрова отражено современно состояние обсуждаемых вопросов. Книга рассчитана на студентов и аспирантов, специализирующихся в области математики.

В этой книге рассматриваются свойства дифференциально-геометрическмх образов, которые сохраняются при всех взаимно-однозначных и непрерывных отображений плоскости или некоторой её части на область плоскости.

В книге на простых примерах, взятых из области механики и геометрии и доступных учащимся средней школы, разъясняется понятие огибающей, играющее важную роль в высшей математике. Эти примеры не требуют рассмотрения никаких других функций, кроме многочленов, благодаря чему разыскание огибающих производится весьма простыми приемами. Книга может быть использована в работе математических кружков.

Основные факты алгебраической топологии изложены с точки зрения дифференциальной геометрии и тензорного анализа. Этот метод является наиболее плодотворным для приложений топологии к задачам математического анализа, дифференциальных уравнений, теоретической физики. Для математиков, интересующихся приложениями топологии к другим областям математики, студентов и аспирантов, специализирующихся в этих областях.

Введение в современную теорию особенностей и ее приложения к дифференциальной геометрии кривых, написанное известными английскими математиками. Получаемые из общей теории результаты интерпретируются как нетривиальная информация о кривых, огибающих, точках возврата, эволютах, каустиках, волновых фронтах. В книге много чертежей и рисунков, облегчающих восприятие материала. Приведено большое число задач и упражнений. Для преподающих и изучающих геометрию в вузах и средней школе.

Монография написана на современном уровне и восполняет ощутимый пробел в математической литературе по римановой геометрии в целом. Последняя находится в стадии активного развития.

Монография посвящена разнообразным неравенствам между основными геометрическими характеристиками для областей на поверхностях и для подмногообразий евклидовых и римановых пространств. Рассмотрены классическая изопериметрия и ее обобщения. Дан обзор теории смешанных объемов. Намечена связь изопериметрия с теориями площади и функциональных неравенств. Изложены теоремы сравнения римановой геометрии. Книга может использоваться как справочник по геометрическим неравенствам и методам их доказательств.

В настоящей работе дается изложение основных фактов конформной геометрии плоскости. Наряду с фактами аналитической геометрии (углы между кругами, пучки кругов и т. д. ) рассматриваются вопросы дифференциальной геометрии последовательности кругов, дифференциальной геометрии кривых на плоскости. В последнем параграфе рассматриваются вопросы конформной геометрии трехмерного пространства. Во всем изложении постоянно используется изоморфизм группы конформных отображений пространства указанной выше подгруппе проективных отображений пространства измерения на единицу выше, т. е. группе гиперболических движений. Поэтому работа начинается с изложения необходимых сведений о проективной геометрии и о введении в нее метрики.

Книга американских авторов посвящена симплектической геометрии и ее многочисленным применениям к функциональному анализу и математической физике. Эти вопросы тесно связаны с построением асимптотических решений уравнений в частных производных, изучением особенностей решений, спектров дифференциальных операторов. Развитые методы оказались полезными в квантовой механике, теории представлений групп, теории динамических систем. На русском языке нет книги, в которой столь подробно и систематически, с таким прекрасным набором физических иллюстраций излагалась бы эта тематика. Книга представляет интерес для научных работников — физиков и математиков.

Инфинитезимальный анализ - один из наиболее разработанных разделов, составляющих нестандартные методы анализа. В его рамках получили строгое обоснование метод неделимых и монадология, восходящие к глубокой древности. В монографии подробно излагаются теоретико-множественные формализмы, позволяющие использовать актуальные бесконечно большие и бесконечно малые величины. Детально изучаются приложения инфинитезимальных методов в топологии, теории меры, оптимизации и гармоническом анализе. Для широкого круга читателей, интересующихся современным состоянием и приложениями классического анализа бесконечных.

В небольшой книге известного французского математика Михаила Громова изучены основы римановой геометрии, теории Морса, элементы дифференциальной топологии. Материал изложен на очень доступном уровне. Книга может быть рекомендована при введении в более специальные разделы геометрии и топологии. Предназначена для студентов, аспирантов и полезна для научных сотрудников и преподавателей.

Книга известного немецкого геометра В. Клингенберга и его учеников Д. Громола и В. Майреа посвящена основным вопросам римановой геометрии в целом. Написана на современном уровне, книга тем не менее читается легко и может служить учебным пособием по римановой геометрии, что особенно ценно ввиду отсутствия соответствующей литературы. Вместе с добавлением В.А. Топоногова она дает обзор последних достижений и проблем этой области математики. Большое число задач помогает глубже усвоить материал и облегчает самостоятельное изучение предмета. Книга представляет интерес для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников математических специальностей.

Настоящий текст представляет собой записи лекций, читавшихся С. М. Гусейн-Заде для студентов III курса с минимальными изъятиями и дополнениями.