Посвящена интересному и актуальному направлению,,бурно развивающемуся в последние годы, в рамках которого открыты важные методы интегрирования гамильтоновых уравнений и получены новые результаты о геометрической структуре интегрируемых уравнений. Большинство вопросов впервые изложены в виде, доступном для широкого круга специалистов. Цель данной книги — доступно рассказать о некоторых новых методах интегрирования гамильтоновых дифференциальных уравнений на симплектических многообразиях. Проблема интегрирования дифференциальных уравнений как обыкновенных, так и в частных производных является классической. К настоящему времени в математике имеется достаточно мощный арсенал различных средств, используемых при интегрировании уравнений. Выбор средств и методов, которые используются при решении конкретных задач, возникающих, например, в геометрии, механике или математической физике, сильно зависит от того, какой смысл мы вкладываем в выражение "решить уравнение". Например, если искать решение в каком-нибудь функциональном пространстве, то естественно привлекать методы функционального анализа. Выделим три аспекта в изучении дифференциальных уравнений: а) явное интегрирование; б) качественные методы; в) интегрируемость по Лиувиллю. Традиционный подход к изучению свойств решений дифференциальных уравнений состоит в том, что сначала явно определяют полное множество решений и лишь потом анализируют их свойства. Именно так поступали Лежандр, Лагерр, Бессель, Эрмит при изучении дифференциальных уравнений второго порядка. Однако, помимо уравнений данного типа, в различных приложениях возникают линейные или нелинейные уравнения выше второго порядка. Возникает вопрос о возможности отыскания полного набора решений для качественного описания поведения общих решений уравнений, моделирующих интересующую нас систему. Для научных работников — математиков, физиков, механиков, аспирантов и студентов соответствующих специальностей. Может быть использована как пособие по специальным курсам: симплектическая геометрия, интегрируемые системы и др.

Настоящая научная статья, посвящена интегрированию и исследованию уравнений с частными производными эллиптического типа и является иллюстрацией применения теории аналитических функций разрешению задач в вещественной области.

Исследуются аналитические свойства решений шести неприводимых уравнений Пенлеве. Рассматриваются вопросы о поведении решений во всей области их существования, а также возможный характер и число подвижных полюсов, наличие рациональных, однопараметрических классов решений, выражающихся в функциях Бесселя, Уиттекера, Вебера—Эрмита и др. Показана связь между уравнениями Пенлеве и классическими нелинейными уравнениями математической физики, такими как уравнения Буссинеска, Кортевега — де Фриса, синус-Гордона, Шредингера. Для специалистов в области дифференциальных уравнений, математической и теоретической физики. Будет полезна студентам и аспирантам физико-математических и физико-технических специальностей.

Содержит изложение теории вариационных и квазивариационных неравенств эллиптического типа и приложения этой теории к изучению задач со свободной границей. Материал книги четко систематизирован и снабжен обширной библиографией. Для специалистов в области прикладной математики, а также для студентов вузов и аспирантов соответствующих специальностей.

Излагаются основанные на теории вариационных неравенств новые методы иследования свободной границы для различных задач со свободными границами. Строгое математическое изложение удачно сочетается с демонстрацией постановок и результатов на конкретных физических задачах. Для специалистов в области математического анализа, дифференциальных уравнений, математической физики и их приложений. Доступна аспирантам и студентам старших курсов.

В книге впервые систематически излагается общий подход к асимптотическому интегрированию сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений, описывающих неравномерные переходы, такие, как явление пограничного слоя, разрывы, краевые эффекты и т. п. Метод регуляризации сингулярных возмущений, излагаемый в книге, применяется для асимптотического интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений (линейных и нелинейных) и линейных уравнений с частными производными. Книга предназначается физикам, математикам, инженерам и студентам, соприкасающимся с прикладной математикой.

В основу настоящего пособия положен материал курса лекций по теории линейных систем, читаемого автором в Санкт- Петербургском университете в течение ряда лет для студентов четвертого курса, специализирующихся по кафедре дифференциальных уравнений.

Т. 1 : Псевдодифференциальные операторы. - 360 с.

Излагаются вопросы, касающиеся двух областей функционального анализа - теорем вложения и спектральной теории дифференциальных операторов. От других книг в этой области отличается большими применениями к изучению спектра дифференциальных операторов и более доступным изложением. Излагаются разностные теоремы вложения, используемые в вычислительной математике, имеются упражнения и постановки новых задач.

Книга посвящена общей теории гиперболических уравнений произвольного порядка. В первой части изучаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Вторая часть посвящена в основном вопросам разрешимости задачи Коши для линейных уравнений с переменными коэффициентами.

В книге систематически развиваются методы построения непрерывных групп симметрии квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование ведется для групп с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами и без предположения линейности группы преобразований. Доказаны теоремы, позволяющие эффективно разыскивать максимальные в смысле С.Ли группы симметрии и строить инвариантные дифференциальные уравнения. Приложение общих результатов сконцентрировано в области анализа групп симметрии релятивистских полей. Систематически исследуются взаимодействующие поля спина 0, 1/2 и 1. Обнаружены существенно нелинейные спинорные и скалярные уравнения, допускающие бесконечные группы, а также конформно инвариантные уравнения нового типа. Для простейшей суперсимметричной модели получены новые сохраняющиеся спинорные заряды. Изучен новый класс вращательно-инвариантных уравнений, для которого обнаружено значительное расширение исходной группы симметрии. Книга адресована физикам, математикам и механикам, интересующимся теоретико-групповыми методами в теории поля и в механике сплошной среды, а также студентам и аспирантам, прослушавшим вводный курс теории групп.

Рассматриваются вопросы корректности задачи Коши и других краевых задач для дифференциально-операторных уравнений в банаховых пространствах. Изучаются два различных подхода к решению некорректных задач: построение приближенных решений методами регуляризации и обобщенных решений в пространствах абстрактных обобщенных функций. Для научных работников, аспирантов и студентов, специализирующихся в области дифференциальных уравнений.

Ч. 2 : 1937. - 996 с.

Одна из классических фундаментальных книг по математической физике. Перевод 2-й части (прикладной, т. е. физической) немецкого издания. Первая часть (общематематическая) не вошла в русское издание.

Монография известного математика (Франция), представляющая собой полным и хорошо составленный обзор применения гомотопических методов к дифференциально-геометрическим, топологическим и иным задачам, которые описываются уравнениями и неравенствами с частными производными. В ней изложена общая точка зрения на теорию разрешимости дифференциальных соотношений. Это наиболее мощное средство исследования в многочисленных задачах геометрии Изложение замкнутое, книга может служить справочным пособием по теории погружения. Для математиков разных специальностей, аспирантов и студентов университетов.

В книге рассматриваются основные краевые задачи для эллиптических и задача Коши и смешанные задачи для гиперболических и параболических уравнений второго порядка. Широко используется понятие обобщённого решения. Для чтения книги достаточно владеть основами математики в размере программы первых двух курсов механико-математических или физических факультетов университетов или втузов с повышенной математической подготовкой; все необходимые сведения из функционального анализа и теории функциональных пространств, в частности, теоремы вложения Соболева, в книге излагаются. Книга является расширенным изложением курса лекций, читавшихся автором студентам третьего курса Московского физико-технического института.

В книге А. Зоммерфельда "Дифференциальные уравнения в частных производных физики", являющейся шестым томом его лекций по теоретической физике, последовательно изложен круг вопросов, входящих обычно в курс методов математической физики (ряды Фурье, проблемы, связанные с рассмотрением уравнений в частных производных второго порядка, цилиндрические и шаровые функции, уравнения колебаний мембран и т. д.). В отличие от книг, имеющихся по этому разделу математики, в книге Зоммерфельда много внимания уделено физической стороне дела: рассмотрению физических проблем и конкретных задач. В конце книги в виде задач дан полезный дополнительный материал, непосредственно примыкающий к основному тексту. Книга рассчитана на широкий круг читателей, прежде всего физиков всех специальностей; ее с интересом прочтут также математики, занимающиеся вопросами теоретической физики.

В книге рассмотрены постановки задач математической физики для дифференциальных уравнений в частных производных и основные аналитические методы их решений. Для студентов и аспирантов вузов, а также для инженеров и научных работников, работающих в области прикладной математики и математического моделирования. Содержание учебника соответствует курсу лекций, который авторы читают в МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Посібник для студентів 3-го курсу механіко-математичного факультету. Містить допоміжні розділи до курсу "Рівняння у частинних похідних" (РЧП) такі, як: відомості з математичного і функціонального аналізу, моделювання фізичних процесів за допомогою РЧП, задачі на власні значення, теореми Фредгольма для інтегральних рівнянь.