Доведено існування широкого класу скінченних множин функціоналів, які повністю визначають асимптотичну поведінку розв'язків хвильових рівнянь з нелінійними демпфуванням. Цей клас містить скінченні множини визначальних мод, вузлів і локальних об'ємних усереднень.

Вивчено питання про існування та регулярність розв'язків некоерцитивних варіаційних нерівностей.

Опубліковано матеріали III міжнародної конференції, яка відбулася 12 - 18 липня 1999 р. у Києві. Розглянуто питання подальшого розвитку та застосування теоретико-групових методів у сучасній математичній фізиці та теорії диференціальних рівнянь. Поряд з аналізом симетрії та побудовою точних розв'язків складних багатовимірних нелінійних рівнянь, дані методи дозволяють будувати адекватні математичні моделі у фізиці, механіці, математичній біології та інших природничих науках.

Рассмотрены линейные и полулинейные параболические уравнения второго порядка, объединяющие нелокальное условие с условием Ньюмена. Для каждой задачи установлено существование и единственность слабого решения. Такие задачи встречаются в области теплопроводности, химии, биохимии, термоупругости, динамики популяций и других диффузионных процессов.

Досліджено властивості апроксимаційного методу В.К. Дзядика стосовно біноміальної функції. Вивчено умови, за яких оцінка для відносної похибки наближення у рівномірній метриці є точною. Результати можно застосовувати до задач теорії потенціалу.

Одержано асимптотику особливих точок рівнянь Ейлера - Пауассона для розв'язків загального вигляду.

Розглядається перша крайова задача для рівняння Гельмгольця в області, що є зовнішньою до періодичної системи тіл. Вивчається асимптотична поведінка функції Гріна цієї задачі, коли період структури та довжина хвилі стають малими. Показано, що систему тіл можна замінити ефективним потенціалом.

Побудовано асимптотику розв'язку задачі Коші для виродженої сингулярно збуреної лінійної системи у випадку кратного спектра головного оператора.

Досліджено коректність задач з багатоточковими умовами за часовою змінною для рівнянь з частинними похідними, не розв'язних відносно старшої похідної за часом. На основі метричного підходу проведено оцінки знизу малих знаменників, які виникають при побудові розв'язків задач.

Встановлено умови коректної розв'язності в різних функціональних просторах задачі з багатоточковими умовами за часовою змінною та умовами періодичності за просторовими координатами для рівнянь із частинними похідними, не розв'язаних відносно старшої похідної за часом. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, які виникають при побудові розв'язків.

Рассмотрены задачи о минимизации энергии вещественных зарядов на "батареях" - объектах, введенных в 1970-х гг. и состоящих из произвольного (не только конечного, но и бесконечного, в том числе несчетного) количества замкнутых множеств и приписанных им ненулевых вещественных чисел, причем любым из указанных множеств, которым приписаны числа одного знака, разрешается пересекаться между собой. Упомянутые выше минимизационные задачи ставятся в классах зарядов, согласованных с батареей, а энергии зарядов определены заданным функциональным ядром. Приведены результаты о разрешимости задач и единственности экстремалей для указанных общих батарей и логарифмического ядра на плоскости. Изложены данные о свойствах потенциалов при дополнительных условиях.

Досліджено вплив малих деформацій симплектичної структури та збурень гамільтоніана на поведінку цілком інтегрованої гамільтонової системи. Показано, що поблизу певного підбагатовиду фазового простору виникає гладка в сенсі Вітні сім'я коізотропних інваріантних торів збуреної системи.

Запропоновано метод побудови аналітичного розв'язку задачі Коші для телеграфного рівняння, що базується на його моделюванні одновимірною марковською випадковою еволюцією.

Для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова встановлені властивість нормальності, формула згортки, додатність і деяка оцінка знизу для фундаментального розв'язку, а також доведені теореми єдиності розв'язків задачі Коші у класах функцій з обмеженим ростом та в класі невід'ємних функцій.

Досліджено вплив інтегрального члена в крайовій умові на коректність нелокальної крайової задачі для диференціальних рівнянь із частинними похідними.

Отримані умови інваріантності та інваріантної розв'язності крайових задач математичної фізики.

Наведено результати, які відносяться до усереднення звичайних диференціальних та інтегро-диференціальних включень, рівнянь та включень із багатозначними розв'язками, гіперболічних диференціальних включень Вольтерра, інтегральних включень, диференціальних включень дробового порядку і апроксімаційних рівнянь в матричних просторах. Викладено також питання застосування методу усереднення до задач керування. Наведено необхідні відомості і твердження із багатозначного аналізу.

Розглянуто крайову задачу для спеціальної квазілінійної параболічної системи диференціальних рівнянь другого порядку з граничними умовами першого роду. Доведено теорему про існування та єдиність класичного розв'язку вищевказаної крайової задачі, базуючись на принципах максимуму та Лере - Шаудера. На основі доведеної теореми встановлено існування та єдиність розв'язку крайової задачі, яка описує математичну модель фільтраційної консолідації грунтів з урахуванням переносу солей.

Розроблено нові методи розв'язання крайових задач у меридіанній площині вісесиметричного потенціального соленоїдального поля, що враховують природу та специфічні особливості вісесиметричних задач. Одержано в явному вигляді розв'язки задач Діріхле для вісесиметричного потенціалу та функції течії Стокса в крузі.

Розглянуто нові крайові задачі Діріхле, Неймана для еліптичних рівнянь з умовами спряження. Досліджено питання існування та єдиності розв'язків. На базі використання класів розривних допустимих функцій побудовано високоточні алгоритми їх дискретизації.