Книга известного немецкого геометра В. Клингенберга и его учеников Д. Громола и В. Майреа посвящена основным вопросам римановой геометрии в целом. Написана на современном уровне, книга тем не менее читается легко и может служить учебным пособием по римановой геометрии, что особенно ценно ввиду отсутствия соответствующей литературы. Вместе с добавлением В.А. Топоногова она дает обзор последних достижений и проблем этой области математики. Большое число задач помогает глубже усвоить материал и облегчает самостоятельное изучение предмета. Книга представляет интерес для студентов старших курсов, аспирантов и научных работников математических специальностей.

Изучение замкнутых геодезических было начато Дарбу [1], Адамаром [1], Пуанкаре [1] и Биркгофом на грани 19-го и 20-го веков. Вопросы, которыми они занимались, были различны. Дарбу начал исследование проблемы: на каких поверхностях все геодезические замкнуты? Работа Адамара была посвящена поведению геодезических линий на поверхностях отрицательной кривизны (он не ограничивался замкнутыми геодезическими, но уделил им значительное внимание). Пуанкаре написал статью о замкнутых геодезических на овалоиде (замкнутой выпуклой поверхности); позднее Биркгоф нашел другой подход к той же задаче. (Если говорить не только о замкнутых геодезических, а вообще о поведении геодезических линий, то надо упомянуть еще и о тех случаях, когда удается проинтегрировать в квадратурах соответствующие дифференциальные уравнения. Это направление, естественно, возникло раньше — наиболее известные результаты здесь были получены Клеро и Якоби.) Все упомянутые направления со временем получили значительное развитие. Они остаются основными направлениями в теории замкнутых геодезических и по сей день. В ходе развития во всех этих направлениях совершился переход от двумерных поверхностей к n-мерным многообразиям (однако некоторые результаты последних 20 лет являются новыми и для «классического» двумерного случая). Интегрирование в квадратурах когда-то было почти единственным и уж во всяком случае главным методом исследования дифференциальных уравнений вообще и уравнений геодезических в частности. Подобное монопольное положение со временем было утрачено, а прогресс в интегрируемых задачах надолго прекратился. Однако в наши дни интерес к интегрируемым задачам возродился, причем многие из них прямо или косвенно связаны с геодезическими.