Т. 1. - 479 с.

В монографии изложены основы тензорной тригонометрии, базирующейся на квадратичных метриках в многомерных арифметических пространствах. В теоретическом плане тензорная тригонометрия естественным образом дополняет классические разделы аналитической геометрии и линейной алгебры. В практическом плане она даёт инструментарий для решения разнообразных геометрических задач в многомерных аффинных, евклидовых и псевдоевклидовых пространствах. Движения, определяемые тензорной тригонометрией, задают геометрию в малом для вложенных в них подпространств постоянной кривизны. Кроме того, тензорная ротационная и деформационная тригонометрия в элементарной форме применена к изучению движений в неевклидовых геометриях – сферической и гиперболической, а также в теории относительности. В результате получены наиболее общие – матричные, векторные и скалярные представления этих движений в весьма наглядной тригонометрической форме. Новые методы тензорной тригонометрии предназначены для применения в ряде областей математики и математической физики. Для специалистов в областях многомерных геометрий арифметических пространств, аналитической геометрии, линейной алгебры, неевклидовых геометрий и теории относительности; для преподавателей, аспирантов и студентов физико-математических специальностей.

Основное место в книге занимают уравнения Винера-Хопфа. Наиболее полная теория дискретных и интегральных уравнений Винера-Хопфа была построена ранее М.Г. Крейном. Методы функционального анализа позволяют получить эти результаты, в также результаты о других конкретных классах уравнений в свертках в одной общей схеме. В основу этой схемы положено своеобразное неклассическое операционное исчисление, объектами которого служат функции от односторонне обратимых операторов. Вторую тему книги составляют проекционные методы решения уравнений в свертках. Методы функционального анализа позволяют и здесь построить общую схему. Абстрактной основой этой схемы опять служит упомянутое неклассическое операционное исчисление. Среди рассмотренных проекционных методов особое внимание уделяется методу Галеркина и методу редукции. В заключительной главе книги результаты, полученные для скалярного случая, обобщаются на системы уравнений. Для удобства изложение начинается с теорем о факторизации матриц-функций. В дополнение к книге изучена асимптотика решений уравнений в свертках.

В книге систематически развиваются методы построения непрерывных групп симметрии квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование ведется для групп с коммутирующими и антикоммутирующими параметрами и без предположения линейности группы преобразований. Доказаны теоремы, позволяющие эффективно разыскивать максимальные в смысле С.Ли группы симметрии и строить инвариантные дифференциальные уравнения. Приложение общих результатов сконцентрировано в области анализа групп симметрии релятивистских полей. Систематически исследуются взаимодействующие поля спина 0, 1/2 и 1. Обнаружены существенно нелинейные спинорные и скалярные уравнения, допускающие бесконечные группы, а также конформно инвариантные уравнения нового типа. Для простейшей суперсимметричной модели получены новые сохраняющиеся спинорные заряды. Изучен новый класс вращательно-инвариантных уравнений, для которого обнаружено значительное расширение исходной группы симметрии. Книга адресована физикам, математикам и механикам, интересующимся теоретико-групповыми методами в теории поля и в механике сплошной среды, а также студентам и аспирантам, прослушавшим вводный курс теории групп.

Содержит современное, и в то же время достаточно элементарное, детальное изложение основных разделов гомологической алгебры, находящих фундаментальные приложения как в самой алгебре, так и в, других разделах математики, прежде всего, в алгебраической геометрии и топологии. Обширный дополнительный материал, содержащийся в многочисленных упражнениях, позволяет овладеть еще рядом важных разделов гомологической алгебры, которые либо не вошли в основной текст, либо в нем только кратко упомянуты. В целом книга дает почти исчерпывающее представление о многообразии идей и методов гомологической алгебры. Для математиков различных специальностей, применяющих в своих исследованиях методы гомологической алгебры.

Метод винтов как метод механики возник в семидесятых годах прошлого столетия. Собственно винтовое исчисление в законченном виде было сформировано в девяностых годах на основе идей В. Клиффорда, А. П. Котельникова и Э. Штуди и является обобщением векторного исчисления. Основу его составляют как общая теория винтов, так и специальный «принцип перенесения», устанавливающий соответствие между свободными векторами и винтами таким образом, что все соотношения в области векторов, если им придать особую комплексную форму, формально сохраняются для винтов. Благодаря этому одно «винтовое» уравнение, не отличающееся по форме от векторного, равносильно не трем, а шести скалярным уравнениям

Излагаются основы тензорного исчисления и некоторые его приложения к геометрии, механике и физике. В качестве приложений строится общая теория поверхностей второго порядка, изучаются тензоры инерции, напряжений, деформаций и рассматриваются некоторые вопросы кристаллофизики. Последняя глава знакомит с элементами тензорного анализа. Линейное пространство Понятие линейного пространства Линейная зависимость векторов Размерность и базис линейного пространства Прямоугольный базис в трехмерном пространстве. Скалярное произведение векторов Векторное и смешанное произведения векторов. Преобразования ортопормированного базиса. Основная задача тензорного исчисления Некоторые вопросы аналитической геометрии в пространстве

Учебно-методическое пособие представляет собой изложение векторного анализа в трехмерное евклидовом пространстве, тензорной алгебры, основ тензорного анализа в n-мерном аффинном и евклидовом пространствах. Понятие, теоретические положения и формулы иллюстрируются большим числом разнообразных в тексте задач и упражнений, а также предлагаются задачи для самостоятельного решения, которые снабжены ответами или указаниями к решению. Рассчитано на студентов физических и радиофизических специальностей университетов, втузов и всех, желающих самостоятельно изучить указанный курс.

Представлены задачи по аналитической геометрии и линейной алгебре. Теоретические задачи, как правило, сопровождаются упражнениями различной трудности, способствующими самостоятельной проверке обучаемыми степени понимания ими новых определений и алгоритмов. По сравнению с первым изданием (М.: ФИЗМАТЛИТ, 2000) во втором содержится около 300 новых либо существенно переработанных задач, расширены теоретические справки, в ответах к отдельным задачам даны краткие пояснения. Для студентов университетов и других высших учебных заведений, получающих образование по математическим направлениям и специальностям.

  Текст у форматі PDF 2.01 Мб

  Текст у форматі PDF 2.00 Мб