Доведено існування широкого класу скінченних множин функціоналів, які повністю визначають асимптотичну поведінку розв'язків хвильових рівнянь з нелінійними демпфуванням. Цей клас містить скінченні множини визначальних мод, вузлів і локальних об'ємних усереднень.

Опубліковано матеріали III міжнародної конференції, яка відбулася 12 - 18 липня 1999 р. у Києві. Розглянуто питання подальшого розвитку та застосування теоретико-групових методів у сучасній математичній фізиці та теорії диференціальних рівнянь. Поряд з аналізом симетрії та побудовою точних розв'язків складних багатовимірних нелінійних рівнянь, дані методи дозволяють будувати адекватні математичні моделі у фізиці, механіці, математичній біології та інших природничих науках.

Досліджено вплив малих деформацій симплектичної структури та збурень гамільтоніана на поведінку цілком інтегрованої гамільтонової системи. Показано, що поблизу певного підбагатовиду фазового простору виникає гладка в сенсі Вітні сім'я коізотропних інваріантних торів збуреної системи.

Отримані умови інваріантності та інваріантної розв'язності крайових задач математичної фізики.

Розроблено нові методи розв'язання крайових задач у меридіанній площині вісесиметричного потенціального соленоїдального поля, що враховують природу та специфічні особливості вісесиметричних задач. Одержано в явному вигляді розв'язки задач Діріхле для вісесиметричного потенціалу та функції течії Стокса в крузі.

Розглядаються передумови та загальна схема методу відокремлення змінних, особливості зведення загальної регулярної крайової задачі до задачі з однорідними межовими умовами. Представлені рівняння параболічного та гіперболічного типів на відрізку з однорідними та неоднорідними межовими умовами, рівняння еліптичного типу в прямокутнику, в кругових, циліндричних та сферичних областях, рівняння коливань і теплопровідності та спектральні задачі в багатовимірних областях, описуються циліндричні та пов'язані з ними функції.

Розглянуто одновимірну задачу Стефана з нелокальною за координатою і часом крайовою умовою. Методом Роте здійснено редукцію до послідовності задач з вільною межею для звичайних диференціальних рівнянь, розв'язування яких після скінченновимірної апроксимації зведено до нелінійної алгебри та ітераційних процесів.

Рассмотрены математические модели и эффективные методы решения задач с неоднородными условиями сопряжения. Изложены вопросы математической формализации физико-механических процессов в неоднородных средах с инородными включениями. Исследована корректность классов задач теории упругости, теплопроводности, фильтрации, влагосолепереноса с дополнительными условиями разрыва в решениях и потоках (напряжениях), задач на собственные значения с разрывными собственными функциями. Сформулированы основные принципы построения, исследования численных методов решения на ЭВМ рассмотренных математических моделей. Большое внимание уделено вопросам обоснования высокоточных вычислительных схем метода конечных элементов (МКЭ) расчета полей с разрывными решениями и потоками (напряжениями), задач на собственные значения с разрывными собственными функциями.

Освещаются новые направления по исследованию нелинейных краевых задач, как для обыкновенных дифференциальных уравнений, так и для уравнений с частными производными. Рассматриваются особенности математического моделирования актуальных проблем современного естествознания и техники с целью установления основных закономерностей изучаемых явлений, их прогнозирования и оптимизации. Значительное внимание уделено исследованию вопросов разрешимости краевых задач, разработке эффективных численных методов решения как краевых задач для уравнений с частными производными, так и обыкновенных дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, исследованию вопросов устойчивости решений.

Работы сборника отражают направления по исследованию нелинейных краевых задач, как для обыкновенных уравнений, так и для уравнений с частными производными, направленные на Международную конференцию по математическому моделированию. Они посвящены математическому моделированию актуальных проблем современного естествознания с целью установления закономерностей изучаемых явлений и процессов, прогнозирования и управления. Большое внимание уделено вопросам создания существенно нелинейных моделей, исследованию задач со свободными границами для нелинейных эволюционных уравнений, правильной постановки задач математической физики, исследованию вопросов их разрешимости, стабилизации во времени и пространственной локализации решений, построению конструктивных методов решения, в частности, асимптотических, вариационных, численно-аналитических.

Індекс рубрикатора НБУВ: В312.2 + В161.621

Рубрики:

Нелінійні коливання і хвилі

Диференціальні рівняння математичної фізики

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Для фундаментального розв'язку параболічного рівняння із змінними коефіцієнтами обчислено його логарифмічний градієнт.

Доведені нові точні формули для ймовірності перебування вінерівського процесу між двома межами, залежними від часу. Метод доведення базується на дослідженні рівняння теплопровідності в області, визначеній цими функціями-межами. Формули реалізовані у вигляді рядів.

Розглядаються особливості виведення основних рівнянь математичної фізики, постановка задач для них, класифікація рівнянь з частинними похідними. Аналізується метод характеристик, метод відокремлення змінних (Ейлера-Фур'є) для рівняння Лапласа. Представлено розв'язування однорідних та неоднорідних крайових задач для гіперболічних рівнянь, задачі Коша і Гурса, крайових задач для параболічних рівнянь. Описується розв'язування крайових задач для еліптичних рівнянь методом функції Гріна, а також зведення крайових задач для рівнянь еліптичного типу до інтегральних рівнянь.

Встановлено умови існування та єдиності невід'ємних розв'язків нелінійних стаціонарних задач теплопровідності - задачі Діріхле та нелінійної задачі Неймана - з урахуванням залежності коефіцієнта теплопровідності та внутрішніх джерел тепла від температури.

Індекс рубрикатора НБУВ: В152.82 + В161.621

Рубрики:

Групи Лі

Диференціальні рівняння математичної фізики

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В312 + В161.621

Рубрики:

Теорія коливань та хвиль

Диференціальні рівняння математичної фізики

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено поведінку розв'язків задачі для рівняння теплопровідності з імпульсною дією.

Досліджено спектральні властивості коливної системи, що складається з двох компонент з подібними пружними властивостями, але суттєво різною густиною маси. Припущено, що коливання цієї системи можна описати диференціальним оператором четвертого порядку, а малий параметр є сумірним з відношенням середніх значень густини компонент. Для даної моделі доведено існування низькочастотних власних коливань. З застосуванням ВКБ-апроксимації та степеневих розвинень побудовано послідовності квазімод, які є збіжними до високочастотних власних функцій. Обгрунтовано асимптотики завдяки оцінці різниці між частковими сумами розвинень і справжніми власними значеннями та власними функціями задач.

Наведено класифікацію диференціальних рівнянь у частинних похідних, а також вищого порядку. Розглянуто задачі, що приводять до рівнянь гіперболічного, параболічного типу, зокрема, рівнянь коливання струни, теплопровідності, дифузії, хвильових процесів у дво- та тривимірному середовищі та в обмежених і напівобмежених областях. Наведено формули Гріна, Пуассона, теорії гармонічних функцій, розв'язано внутрішню та зовнішню задачі Неймана для кулі. Розглянуто теорію потенціалу, його види, зокрема, подвійного та простого шару, логарифмічний, та зведено крайові задачі рівнянь еліптичного типу до інтегральних рівнянь.