Запропоновано конкретний спосіб поєднання методу скінченних елементів і безсіткового методу. Цей метод базується на тому, що безсіткові вузли розташовуються в середині скінченного елемента і таким чином покращують загальну апроксимацію на елементі. Розгялнуто та проаналізовано переваги та недоліки такого підходу. Показано, що такий підхід підпорядковується більш загальній схемі поєднання методів. Наведено результати числових експериментів і проведено їх аналіз.

Досліджено процеси конвективної дифузії домішкової речовини у двофазних структурах з періодично розташованими тонкими каналами з урахуванням натурального розпаду мігруючої речовини. За допомогою відповідних інтегральних перетворень окремо в контактуючих областях одержано розв'язок контактно-крайових задач конвективної дифузії розпадної речовини. Зв'язок між цими інтегральними перетвореннями знайдено з використанням неідеальних контактних умов, сформульованих на функцію концентрації. Знайдено та досліджено вирази для потоків розпадних частинок через довільні перерізи тіла та проведено їх числовий аналіз в середині тонких каналів та основного матеріалу. Показано, що інтенсивність розпаду мігруючої речовини особливо впливає на розподіли потоків в області основного матеріалу.

Для числового розв'язування крайових задач на півпрямій для систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь другого порядку з несамоспряженим оператором побудовано точну триточкову різницеву схему (ТРС). За умов існування та єдиності розв'язку крайової задачі доведено існування та єдиність розв'язку точної ТРС і збіжність методу послідовних наближень для його знаходження.

Розглянуто 2 узагальнення класичної задачі Фарадея про розвиток параметричного резонансу в механічній системі резервуар - рідина з вільною поверхнею: вплив додаткового ступеня вільності - можливості горизонтального руху резервуару за рахунок поперечних коливань вільної поверхні рідини; вплив додаткового ступеня вільності - можливості кутових коливань резервуару, що висить на маятниковому підвісі, за рахунок коливань вільної поверхні рідини. Дослідження виконано на базі ефективної нелінійної багатомодової моделі, яка враховує сумісний рух резервуару та вільної поверхні рідини. Показано, що на відміну від класичної задачі Фарадея, динамічні процеси в системі розвиваються як сукупність механізмів параметричних і вимушених коливань. Для розглянутих узагальнень задачі Фарадея є можливим вихід коливань вільної поверхні рідини у нелінійний діапазон амплітуд за будь-якої частоти зовнішнього вертикального збурення.

Запропонована модель надає можливість вивчати за одноконтинуумного підходу напружено-деформований стан наноелементів. Термопружне тверде тіло розглядається як відкрита термодинамічна системи, у якій потоки та джерела маси пов'язано з раптовим виникненням структури матеріалу та реальної поверхні тіла в момент формування тіла. Повна система рівнянь включає рівняння балансу маси, узагальнене на локально неоднорідні системи. Як модельну задачу розглянуто рівноважний стан тонкого шару (плівки). Вивчено розмірні ефекти приповерхневих напружень та ефективного модуля Юнга.

На основі методів теорії функції комплексної змінної запропоновано прямий підхід до побудови інтегральних формул і рівнянь плоскої термоелектропружності для анізотропного біматеріалу з теплоізольованою межею поділу. Одержані співвідношення не містять інтегралів по області та залежать лише від фізично значимих крайових функцій, таких як температура, тепловий потік, розширені переміщення та напруження, що є основними перевагами цих співвідношень.

Розглянуто моделі руху газу в трубопроводах і фільтрації газу в складних пористих середовищах у цілих і дробових похідних. Запропоновано методику лінеаризації рівнянь, які входять в математичну модель масопереносу та побудовано ітераційну схему розв'язування вихідних систем нелінійних диференціальних рівнянь. Реалізовано скінченно-елементну модель задачі з використанням методу Петрова - Гальоркіна та схему Грюнвальда - Летнікова щодо похідних дробового порядку. Проведено дослідження моделей і порівняльний аналіз одержаних числових результатів.

Розглянуто ауксетичні матеріали з точки зору відповідності класичній теорії пружності. Показано, що деякі класичні постулати щодо пружних констант повинні бути уточнені. Проаналізовано 3 випадки опису ауксетичних матеріалів - за допомогою моделі лінійного пружного ізотропного тіла, моделі лінійного пружного трансверсально ізотропного тіла, моделі нелінійного пружного ізотропного тіла (потенціал Мернагана). Збережено початкове припущення про додатність внутрішньої енергії деформування та використано однорідні напружені стани (одновісний розтяг, всесторонній стиск, чистий зсув) для аналізу пружних констант. Це надає можливість описати нові механічні ефекти: розширення стандартного зразка-стержня-призми за одновісного розтягу та розширення стандартного зразка-куба у випадку гідростатичного стиску, а також існування довільних від'ємних значень коефіцієнтів Пуассона, яке супроводжується від'ємними значеннями модулів Ляме, Юнга та всестороннього стиску у випадку лінійного ізотропного тіла та деяких пружних констант у випадку лінійного трансверсально ізотропного тіла. Аналіз випадку нелінійного ізотропного тіла підтвердив попередні спостереження, що ауксетичні матеріали повинні означатися за первинним фізичним явищем - спостереженням у стандартному для механіки матеріалів експерименті про одновісний розтяг призми, що поперечна деформація призми є додатною (матеріал, наче розбухає) на відміну від класичних матеріалів, де ця деформація є від'ємною.

Досліджено термомеханічну поведінку неоднорідних в'язкопластичних елементів конструкцій у випадку циклічного навантаження на прикладі задачі про гармонічний згин і дисипативний розігрів тришарової балки. Використано дві постановки задачі. Одна базується на узагальненій термодинамічно узгодженій моделі непружної течії (повна постановка задачі), а інша формулюється з використанням наближеної склерономної моделі поведінки матеріалу (наближена постановка задачі). Алюмінієвий сплав і сталь вибрані як матеріали шарів. Проведено порівняння результатів, одержаних у межах повної та наближеної постановок. Надано порівняльну оцінку коефіцієнта втрат для різних конфігурацій балки.