В настоящей книге мы намерены показать, что проективная геометрия и линейная алгебра по существу тождественны. Конечно, тождественность этих двух дисциплин уже давно осознана. Доказательство этого утверждения содержится в ряде теорем, показывающих, что определенные геометрические понятия могут быть представлены в алгебраическом виде. Однако указанные основные Теоремы существования, несмотря на всю их важность и полезность, довольно трудно найти в литературе. Поэтому основное содержание нашей книги будут составлять как раз теоремы такого типа.

Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором участникам Летней школы "Современная математика" в Дубне 22–26 июля 2001 года. Основное их содержание составляют два различных доказательства хорошо известного факта — существования гомеоморфизма между трехмерным проективным пространством P3 и специальной ортогональной группой SO(3)$. Брошюра адресована старшим школьникам и младшим студентам.

Эта небольшая по объему книга содержит свежее и достаточно современное изложение начал проективной геометрии. На русском языке изданий такого рода нет, поэтому книга Р. Хартсхорна, бесспорно, заполнит ощутимый пробел в литературе по математике для начинающих. Она окажется неоценимой для всех, кто желает без больших затрат времени ознакомиться с основными идеями проективной геометрии.

Выпускаемая ныне на русском языке небольшая книга Юнга имеет своеобразные особенности, несомненно, делающие ее интересной для читателя. В 1910 г. американские геометры О. Веблен и Дж. Юнг выпустили первый том обширного сочинения по проективной геометрии; в 1918 г. за ним последовал второй том этого сочинения (составленный одним Вебленом). Несмотря на большой размер, сочинение получило широкое распространение; уже в 1916 г. появилось второе издание первого тома. Это сочинение в настоящее время считается лучшим трактатом по проективной геометрии. Оно составлено в строго выдержанном стиле как в смысле точности логической дедукции, так и по обстоятельности его изложения.

В брошюре рассказывается об одном часто применяемом виде проектирования сферы на плоскость, обладающем следующими замечательными свойствами: при этом проектировании углы между линиями на сфере изображаются равными им углами между линиями на плоскости, а круги на сфере изображаются кругами и прямыми на плоскости. В ней рассказывается также о применениях этого проектирования в астрономии и географии. В последнем разделе брошюры рассказывается об аналогичном проектировании плоскости Лобачевского на обычную плоскость. Брошюра рассчитана на школьников старших классов и студентов младших курсов вузов.

Основной объект книги - конечные проективные плоскости. Рассматриваются и другие виды конечных плоскостей: аффинные, гиперболические, мёбиусовы и т. д. Дается развернутая теория плоскостей Галуа - основного класса конечных проективных плоскостей. Рассмотрен ряд приложений конечных плоскостей к комбинаторике и теории графов. Предназначается для научных работников, аспирантов и студентов математических отделений университетов и пединститутов, а также лиц, занимающихся приложениями конечных геометрий.

В книге американских геометров Г. Буземана и П. Келли оригинально и вполне доступно для начинающих изложен обычный университетский курс проективной геометрии. Книга знакомит читателя также с иеэвклидрвыми геометриями Лобачевского и Римана (гиперболической и эллиптической геометриями в терминологии авторов). Особый интерес представляет IV глава, в которой тоже весьма доступно освещен круг вопросов, связанных с известной IV проблемой Д. Гильберта об отыскании так называемых "проективных метрик". Лучшему усвоению предмета весьма способствует большое количество (свыше 200) оригинальных и интересных задач, помещенных в книге. Книга представляет несомненный интерес для студентов физико-математических специальностей университетов и педвузов, преподавателей математики в высших и средних учебных заведениях, научных работников в области математики, а также для широкого круга любителей геометрии.

В геометрии основную роль играют различные преобразования фигур. В школе подробно изучаются движения и гомотетии, а также их приложения. Важной особенностью этих преобразований является сохранение ими природы простейших геометрических образов: прямые переводятся в прямые, а окружности в окружности. Инверсия представляет собой более сложное преобразование геометрических фигур, при котором прямые уже могут переходить в окружности, и наоборот. Такой подход позволяет дать в применении к задачам элементарной геометрии единообразную методику изучения. Это прежде всего относится к задачам на построение и к теории пучков окружностей. Следует отметить, что рассмотрение указанных разделов элементарной геометрии без применения инверсии связано с привлечением разнообразных, большей частью довольно искусственных построений, носящих частный характер. Кроме указанных приложений, инверсия применяется также в пограничных вопросах элементарной и так называемой высшей геометрии. Речь идёт об интерпретации геометрии Лобачевского на евклидовой плоскости. Интересны связи инверсии с комплексными числами, точнее с простейшими функциями, аргументом и значениями которых являются комплексные числа. Настоящая книга посвящена преобразованию инверсии и ряду её приложений. Для удобства изложения материал разбит на три главы.

Книга вводит читателя в современное аналитическое мышление и излагает основные вопросы проективной геометрии, особенно понимание евклидовой геометрии с проективной точки зрения. Книга может служить пособием для повышения квалификации учителей математики и изучения проективной геометрии интересующимися ею. Несмотря на то, что книга не является систематическим курсом проективной геометрии, она может служить в некоторой мере пособием и для студентов физико-математических факультетов. Книга написана в оригинальном стиле, отличающемся от принятого в официальных руководствах.