In 1936 russian mathematician V.V. Ljush suggested the generalisation of complex numbers - quadriplex numbers. In the middle of 80-th it was understood that the quadriplex numbers can be useful for solution of some of inertial navigation problems. In the present report we give inderpendent of treatment of algebraic, geometrical and analytical properties of the quadriplex numbers.

Проанализировано состояния теории и практики судовых гироскопических компасов к моменту распада СССР и сделан прогноз дальнейшего развития гирокомпасостроения на постсовестском пространстве.

Для лінійних систем у формі Коші парного порядку розглянуто задачу зведення до системи рівнянь другого порядку, форма якої характерна для механічних систем. Наведено умови зведення та механічні аналогії, що враховують зв'язок між відповідними матрицями коефіцієнтів та їх підматрицями.

Рассмотрены особенности устройства и функционирования динамически настраиваемых гироскопов (ДНГ), возможности и перспективы их использования в гирокомпасах.

Запропоновано крайову умову змінності кута на лінії перетину вільної поверхні рідини та твердої стінки для лінійної задачі, що описує коливний рух ідеальної рідини в посудині під дією сил слабкого гравітаційного поля. У теорії руху рідини в посудині, з урахуванням сили поверхневого натягу, приймається припущення: кут між вільною поверхнею і твердою стінкою не змінюється в процесі руху рідини, і розглядається задача з крайовою умовою, що випливає з цього допущення. Проте це не доведено експериментально, тому невідомо: чи буде постійним такий кут у процесі руху. Запропонована крайова умова має припущення, що кут змінюється за певним законом.

Задача о колебаниях идеальной жидкости со свободной поверхностью в баке анализируется методами аналитической механики. Значительное внимание уделено вопросам построения конечномерной математической модели, отражающей основные свойства поведения механической системы. Приведены результаты исследования процесса, подобного биениям.

Исследовано явление ответвления новых форм установившихся движений в системах шарнирно-связанных твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной вертикали. Задача о бифуркациях сведена к исследованию характеристических чисел некоторых пучков матриц. В качестве конкретного примера рассмотрены бифуркации динамически несимметричной центрифуги, подвешенной посредством системы шарнирно-связанных весомых цилиндрических стержней.

Рассмотрены кватернионные математические модели с акцентом на их комплексно-числовые варианты в форме вектора удвоения и унитарных матриц.

Разработана общая методика локализации собственных значений матричных полиномов и функций, которая сводится к решению матричных уравнений. Для широкого класса уравнений устанавливаются теоремы, которые обобщают известные свойства уравнений Ляпунова. Предложена новая методика представления решений линейных дифференциальных и разностных систем. Изучены монотонные и монотонно обратимые операторы в пространстве матриц.

Рассмотрен класс инерциальных систем навигации, построенных на основе невозмущаемых маятниково-гироскопических платформ активного топлива.

Обзор содержит описание основных достижений современной теории совместных движений тел с полостями, содержащими жидкость. В работе наряду с классическими аналитическими и численно-аналитическими результатами о гравитационных и инерционных волнах в подвижном сосуде сформулированы и проанализированы новые математические проблемы, возникающие при анализе взаимодействия ограниченного объема жидкости с вибрационными и акустическими полями.

З метою вирішення різноманітних проблем керування реальними динамічними системами вперше побудовано деяку адекватну певній ситуації (динаміці суб'єкта) модель. Зокрема, модель може мати деякий набір завчасно невідомих параметрів, які вибрано в процесі керування. Наприклад, у лінійних механічних керованих системах ці параметри можуть входити до зворотного зв'язку (елементи матриці підсилення коефіцієнтів зворотного зв'язку), а також симетричної додатно визначеної матриці у других похідних, яка характеризує розподіл мас у системі на початку її проектування. Аналогічна матриця у старших похідних лінійної моделі багатопродуктової економіки характеризує зовнішні та внутрішні інвестиції в економіку. Її елементи можна вибрати довільно в певних межах, відповідно до можливостей інвестора. У розглянутих випадках ми маємо не традиційну, а неокласичну задачу керування динамічною системою, у якій застосовано інформацію не про вектор стану системи, а про старші похідні. Важливо, що не повністю керована динамічна система у класичному випадку може стати керованою за наявності додаткової інформації про старші похідні.

Визначено основні лінеаризовані співвідношення геометрично нелінійної (квадратичне наближення) теорії тонких пружних мембран. На цій основі побудовано алгоритм дослідження вільних коливань полої деформованої рівномірним тиском початково плоскої мембрани, обмеженої нерухомим контуром еліптичної форми. Наведено чисельні результати для різного типу коливань, еліптичних в плані оболонок.

Рассмотрены кватернионные, бикватернионные и матричные формы уравнений движения свободного твердого тела и системы инерциальной навигации, использующие традиционные и дуальные аналоги параметров Родрига - Гамильтона и Кейли - Клейна.

Рассмотрены нетрадиционные ненормированные кватернионы с нормами, зависящими от угла поворота твердого тела и времени. Для них предложен закон группового умножения и выведены общие кинематические уравнения. Показана возможность эффективного использования предлагаемых кватернионов для построения функций Ляпунова и решения задач управления ориентацией твердого тела.

Получены симметричные представления решения алгебраического уравнения Риккати при использовании метода матричной сигнум-функции. Рассмотрены варианты выражения решения через неортогональный и ортогональный проекторы.

В данной работе уравнения движения твердого тела в параметрах Родрига - Гамильтона получены как частные случаи уравнений Пуанкаре и Четаева, теория интегрирования которых тем самым распространяется на полученные системы уравнений седьмого порядка, представляющие собой, как в классическом случае, совокупности кинематических и динамических уравнений, аналогичных уравнениям Эйлера. Эти системы дифференциальных уравнений выражены также в параметрах Кейли - Клейна.

Условия стабилизируемости нелинейных систем в методах прямого жесткого синтеза (ПЖС) получены из общих условий стабилизируемости при фиксировании структур матриц коэффициентов используемых квадратичных форм. После соответствующих преобразований они приведены к виду, исследованному автором статьи в выполненных им ранее работах.

Получены уравнения реализуемой механической модели, обобщающие классические уравнения Эйлера - Пуассона и описывающие движения абсолютно твердого тела вокруг неподвижной точки. Основной их особенностью является зависимость обобщенного тензора инерции от проекций единичного вектора вертикали на неподвижные оси. Показано, что в общем случае эти уравнения так же, как и их классические аналоги, имеют три общих интеграла - энергии, площадей и геометрический, а при дополнительных условиях - интегралы типа Эйлера и Лагранжа. В последнем случае задача приведена к квадратурам.

Рассмотрен случай выделения слабых воздействий на динамическую систему при нелинейном измерении. Подход основан на использовании нейронной сети совместно с алгоритмом адаптивной фильтрации, что позволяет определить неизвестное входное воздействие по экспериментально измеренному положению и скорости пробного тела.