Визначено стохастичну динаміку, яка є границею Больцмана-Греда від гамільтонової динаміки системи пружних куль. Введено нову концепцію середніх від спостережуваних за станами стохастичних систем. В ньому враховуються вклади від гіперповерхонь, на яких взаємодіють точкові стохастичні частки. Подано строге визначення інфінітезімальних операторів для півгрупи еволюційних операторів.

Досліджується слабко збурена динамічна система Ван-дер-Поля та структура поведінки її траєкторій на основі сучасної симплектичної теорії. Використовується метод Самойленка-Прикарпатського досліження інтегральних підмноговидів слабко збурених повністю інтегровних Гамільтонових систем, встановлюється регулярність деформацій Лагранжевих асимптотичних підмноговидів в околі гіперболічної періодичної орбіти.

Рассмотрены кватернионные, бикватернионные и матричные формы уравнений движения свободного твердого тела и системы инерциальной навигации, использующие традиционные и дуальные аналоги параметров Родрига - Гамильтона и Кейли - Клейна.

В данной работе уравнения движения твердого тела в параметрах Родрига - Гамильтона получены как частные случаи уравнений Пуанкаре и Четаева, теория интегрирования которых тем самым распространяется на полученные системы уравнений седьмого порядка, представляющие собой, как в классическом случае, совокупности кинематических и динамических уравнений, аналогичных уравнениям Эйлера. Эти системы дифференциальных уравнений выражены также в параметрах Кейли - Клейна.

Індекс рубрикатора НБУВ: В213.18 + В161.627

Рубрики:

Гамільтонова механіка

Нелінійні рівняння і системи

Шифр НБУВ: Ж64699 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В213.18

Рубрики:

Гамільтонова механіка

Шифр НБУВ: Ж29095 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Наведено результати дослідження стійкості руху консервативних систем, які грунтуються на застосуванні функції дії за Гамільтоном як деякого аналога функції Ляпунова. За допомогою функції дії встановлено умови обернення відомих теорем Лагранжа - Діріхле та Рауса. Розглянуто узагальнення запропонованого підходу на неголономні системи. Проаналізовано класи систем, для яких функція дії за Гамільтоном обчислюється в явному вигляді. Висвітлено результати дослідження стійкості руху за Пуассоном зворотних систем з неінваріантним фазовим об'ємом, прикладом яких є деякі класи неголономних систем.

Приведены результаты исследований устойчивости движения консервативных систем, которые обосновываются на применении функции действия по Гамильтону как некоторого аналога функции Ляпунова. С помощью функции действия установлены условия обращения известных теорем Лагранжа-Дирихле и Раусса. Рассмотрены обобщения предложенного подхода на неголономные системы. Проанализированы классы систем, для которых функция действия по Гамильтону вычисляется в явном виде. Освещены результаты исследований устойчивости движения по Пуассону обратных систем с неинвариантным фазовым объемом, примером которых служат некоторые классы неголономных систем.

Рассмотрены новые идеи, концепции и парадигмы в области нелинейной физики. Особое внимание уделено основным универсальным элементам, которые применимы для объяснения огромного числа необычных природных явлений в самых разнообразных областях физики, биологии, социологии, медицины. Освещены идеи, лежащие в основе многих нелинейных явлений. Рассмотрены виды дрейфа, устойчивость траекторий, предельный цикл, бифуркации положений равновесия, топологическая размерность, спектр сингулярностей, хаос в простой динамической системе, инвариантная мера, квазиаттракторы, механизмы авторепродукции.

Вивчено проблему збурень квазіперіодичних рухів на коізотропних інваріантних торах у класі локально гамільтонових систем. Доведено загальну КАМ-теорему про збурення коізотропних інваріантних торів локально гамільтонових систем, а також проілюстровано деякі застосування цієї теореми: рух електрона на двовимірному торі під впливом електромагнітного поля, розповсюдження результатів про біфуркацію канторової множини коізотропних інваріантних торів на випадок локально гамільтонових систем.

Приведено построение бифуркационных диаграмм двух интегрируемых по Лиувиллю гамильтоновых систем на основе выделения действительной части алгебраических поверхностей, ассоциированных с этими системами. Первая система отвечает новому случаю интегрируемости уравнений Кирхгофа, обнаруженному В. В. Соколовым. Вторая описывает движение гиростата Ковалевской в двойном силовом поле.

Изучены дифференциально-геометрические свойства гамильтоновых связностей на симплектических многовидах для адиабатически возмущенной гамильтоновой системы. В частности, сконструирована ассоциированная гамильтоновая связность на главном расслоении и приведено ее описание в терминах ковариантных производных и формы кривизны соответствующей связности.

Викладено одну математичну проблему, яку обговорено з А. М. Самойленком на 3-й міжнародній конференції з теорії нелінійних коливань (1967 р., Закарпаття).

Одним из наиболее важных свойств уравнений Лагранжа является их регулярность, т.е. невырожденность матрицы инерции, благодаря чему уравнения Лагранжа всегда могут быть приведены к нормальной форме. Однако матрица инерции этих уравнений может оказаться плохо обусловленной, а сами уравнения движения - сингулярно возмущенными. Вследствие этого даже относительно малые погрешности параметров исполнительных органов системы управления и сравнительно небольшие возмущающие воздействия могут привести к значительным отличиям между расчетным и реальным движениями системы.

Доведено теорему про збурення коізотропних інваріантних торів локально гамільтонових систем, інтегрованих в узагальненому сенсі. Показано, що інваріантні тори збуреної локально гамільтованої системи утворюють гладку в сенсі Вітні сім'ю. Проаналізовано, що доведена теорема дозволила встановити існування тривимірних коізотропних торів у чотиривимірному фазовому просторі лангранжевої системи, яка описує рух електрона на двовимірному торі під впливом електромагнітного поля. Досліджено окіл квазістаціонарного положення локально гамільтованої системи, одержаної збуренням локально гамільтоновим векторним полем системи, інтегрованої за Ліувіллем, та одночасним деформуванням симплектичної структури. Встановлено, що за досить малого значення малого параметра від тора незбуреної системи, який відповідає квазістаціонарному положенню, відгалужується канторова множина коізотропних інваріантних торів більшої розмірності. Доведено теорему існування квазіперіодичних рухів на інваріантних торах локально гамільтонових систем, близьких до умовно інтегровних. Досліджено біфуркацію інваріантних торів за умов локально гамільтонових збурень цілком інтегрованих систем у випадку існування невиродженого квазістаціонарного положення загального типу. Розглянуто задачу про збурення інваріантних торів, які розшаровують центральний многовид умовно інтегрованої локально гамільтонової системи.

В дисертації розроблено аналітичний підхід до побудови відображення вкладення інваріантних многовидів для цілком інтегрованих за Ліувіллем алгебраїчно-поліноміальних систем. На основі даного підходу проведено дослідження існування адіабатичних інваріантів для адіабатично збурених гамільтонових систем. Узагальнено диференціально-геометричний підхід Картана дослідження геометричних об'єктів, транзитивно-інваріантних відносно дії груп Лі у випадку груп Лі, заданих неявно за допомогою замкнутих ідеалів в алгебрі диференціальних форм на підмноговиді деякого джет-многовиду. Для динамічної системи Бюргерса побудовано рівняння паралельного перенесення зв'язності на асоційованому розшаруванні до джет-многовиду та дано його інтерпретацію як матричного зображення типу Лакса, досліджено ієрархію скінченновимірних редукцій і встановлено їх гамільтоновість та повну інтегрованість.

Рассмотрена система Максвелла - Лоренца электромагнитного поля, взаимодействующая с заряженными частицами (точечными зарядами) в приближении Дарвина, в котором лагранжиан и гамильтониан частиц отщеплены от электромагнитного поля. Для уравнения движения частиц с аппроксимированным гамильтонианом Дарвина найдено решение на конечном часовом интервале с помощью теоремы Коши. Его компоненты представлены как голоморфные функции времени.

Вивчено цілком вироджені динамичні системи ліувіллевого типу. Траєкторії руху таких систем є замкненими лініями, якщо тори Ліувілля є компактними. Виведено умови, за яких динамічна система типу Ліувілля є сильно виродженою. Умови виписано у вигляді системи інтегральних рівнянь. Доведено, що одержана система має розв'язки.

Проведено аналітичні та числові дослідження класичного вильоту у двовимірних гамільтонових системах зі змішаним станом. У потенціалах, в яких існує змішаний стан, тобто фазовий простір містить одночасно області регулярного та хаотичного руху, задача вильоту має низку нових властивостей. Зокрема, деякі локальні мінімуми перетворюються на пастки, число частинок у яких залежить від енергії та інших величин, що характеризують ансамбль частинок. Початкова форма ансамблю задає набір параметрів, що визначають число захоплених частинок.

Для динамической системы четного порядка в форме Фробениуса найдена ее каноническая форма механической аналогии. Матрица преобразования к такой форме не зависит от параметров преобразованных систем, поэтому полученный результат можно распространить на класс псевдолинейных нестационарных систем.

Проведен численный эксперимент по моделированию квазипериодического движения двух тонких и длинных магнитно взаимодействующих цилиндрических тел. Изложена методика исследования устойчивости магнитной системы, включающая в себя: численное моделирование гамильтоновых уравнений движения, метод Монте-Карло заполнения фазового объема, процедуры статистической обработки данных, полученных в результате численного эксперимента. Результаты численного эксперимента свидетельствуют об устойчивом характере найденных квазипериодических движений в окрестности относительного равновесия.