Досліджується слабко збурена динамічна система Ван-дер-Поля та структура поведінки її траєкторій на основі сучасної симплектичної теорії. Використовується метод Самойленка-Прикарпатського досліження інтегральних підмноговидів слабко збурених повністю інтегровних Гамільтонових систем, встановлюється регулярність деформацій Лагранжевих асимптотичних підмноговидів в околі гіперболічної періодичної орбіти.

Індекс рубрикатора НБУВ: В213.18 + В161.627

Рубрики:

Гамільтонова механіка

Нелінійні рівняння і системи

Шифр НБУВ: Ж64699 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В251.331

Рубрики:

Теорія в'язкопружності

Шифр НБУВ: Ж64699 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Знайдено гамільтонове зображення для ієрархії рівнянь типу Лакса на спряженому просторі алгебри Лі інтегро-диференціальних операторів з матричними коефіцієнтами, розширеної еволюцією власних функцій відповідних спектральних задач, за допомогою деякого спеціального перетворення Беклунда. Досліджено зв'язок цієї ієрархії з інтегровними за Лаксом двометризованими системами.

Розглянуто задачу опису факторизованих операторних рівнянь, відповідних до загального факторизованого псевдодиференціального символу, що задовольняє стандартне рівняння типу Лакса. Асоційовані структури Пуассона визначено за допомогою спеціального перетворення типу Беклунда.

На основі структури елементів Казиміра, асоційованих із загальними алгебрами Хопфа, побудовано інтегровні потоки Ліувілля - Арнольда, що пов'язані з природно індукованими структурами Пуассона на довільній коалгебрі, та їх деформації. Розглянуто деякі цікаві спеціальні випадки, в тому числі коалгебричні структури, що пов'язані з осциляційною алгеброю Хейзенберга - Вейля, та спряжені з ними інтегровні гамільтонові системи.

Наведено аналіз геометричної структури методу Ляпунова - Шмідта для вивчення критичних багатовидів слабкозбурених лагранжевих і гамільтонових систем.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.618

Рубрики:

Динамічні системи

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено диференціально-геометричні аспекти узагальнених комплексів де Рама - Ходжа, що природним чином пов'язані з інтегровними багатовимірними диференціальними системами типу М. Громова, а також геометричну структуру характеристичних класів Черна. Побудовано спеціальні диференціальні інваріанти типу Черна та розглянуто їх важливість для інтегровності багатовимірних нелінійних диференціальних систем на ріманових багатовидах. Розглянуто приклад тривимірної нелінійної інтегровної диференціальної системи типу Деві - Стюартсона і проаналізовано їх сполучне відображення та споріднені диференціальні інваріанти типу Черна.

Доведено, що метод породжуючих функціоналів Боголюбова є досить ефективним для вивчення функцій розподілу рівноважних та нерівноважних станів класичних багаточастинкових динамічних систем. У деяких випадках породжуючі функціонали Боголюбова можна виразити через нескінченні розвинення діаграм Урселла - Мартіна, які збігаються при накладанні додаткових умов на розглядувані статистичні системи. Розвинуто класичну ідею Боголюбова про використання перетворення Вігнера оператора щільності для вивчення нерівноважних функцій розподілу та побудовано новий нестаціонарний розв'язок класичного рівняння еволюції функціонала Боголюбова.

Запропоновано узагальнення класичної теореми Лерея - Шаудера про нерухому точку, що грунтується на нескінченновимірній конструкції антиподів типу Борсука - Улама. Наведено нестандартне доведення класичної теореми Лерея - Шаудера про нерухому точку та досліджено багатовид розв'язків нелінійного рівняння типу Гамільтона - Якобі.

Обговорено витоки нової дисципліни в математичній фізиці - квантової математики - з історичної та аналітичної точок зору. Проілюстровано дивовижні властивості методу вторинного квантування, який запропоновано Фоком у 1934 р., і розглянуто вражаючі застосування до теорії нелінійних динамічних систем.

The work is devoted to studying some new classical electrodynamics models of interacting charged point particles and the aspects of the quantization via the Dirac procedure related to them. Based on the vacuum field theory no-geometry approach developed in [6,7,9], the Lagrangian and Hamiltonian reformulations of some alternative classical electrodynamics models are devised. The Dirac-type quantization procedure for the considered alternative electrodynamics models, based on the obtained canonical Hamiltonian formulations, is developed.

Грунтуючись на аналізі редукованих геометричних структур на розшарованих многовидах, інваріантних щодо дії звичайної групи симетрії, побудовано симплектичні структури, асоційовані х формами зв'язаності на відповідних головних розшаруваннях. Запропоновано застосування гамільтонового аналізу та редукції Марсдена-Вейнстейна до динамічних систем Максвела і Янга-Мілса. Надано опис електродинамічних вакуумних властивостей, проаналізовано геометричну природу обмежень Лоренца.

Вивчено ергодичні міри для узагальнених перетворень булевого типу з використанням підходу твірних функцій інваріантних квазімір, що базуються на спеціальних розв'язках для оператора Фробеніуса - Перрона. Запропоновано нові двовимірні перетворення булевого типу та досліджено їх інваріантні міри та ергодичні властивості.

Проаналізовано динамічні системи загального виду, векторні поля яких складаються з градієнтної (симетричної) та Гамільтонової (антисиметричної) складових. Дискутується відповідність таких систем процесам самоорганізації. Розглянуто виникнення когерентних структур і відповідних градієнтних потоків на грасманових многовидах, а також моделювання таких структур відповідною моделлю графа, який виникає в результаті такого формування. Встановлено критерій виникнення гамільтонових і градієнтних векторних полів. Розглянуто модельний приклад нейронної динамічної системи, для якої встановлені умови виникнення осциляційних структур.

Досліджено гідродинамічне рівняння типу Рімана, що узагальнює відому систему Гуревича - Зибіна. Це багатокомпонентне гідродинамічне рівняння характеризується єдиною характеристичною швидкістю потоку. Проаналізовані сумісні бі-гамільтонові структури та представлення Лакса для три- та чотирикомпонентної узагальненої гідродинамічної системи типу Рімана. Одержані результати вперше доповнюють теорію інтегровності систем гідродинамічного типу, раніше розвиненої тільки для відмінних швидкостей в однорідному випадку.

The work is devoted to the study of the Lagrangian and Hamiltonian properties of some relativistic electrodynamics models and is a continuation of our previous investigations. Based on the vacuum field theory approach, the Lagrangian and Hamiltonian reformulation of some classical electrodynamics models is devised. The Dirac type quantization procedure, based on the canonical Hamiltonian formulation, is developed. Within the approach proposed in the work a possibility of the combined description both of electrodynamics and gravity is analyzed.

Запропоновано нову точно розв'язувану просторово-одновимірну квантову супервипромінювальну модель, що описує заряджене ферміонне середовище, взаємодіюче з зовнішнім електромагнітним полем. Сконструйовано скінченну ієрархію законів збереження та багаточастинкові власні стани Бете, що моделюють квантові солітонні імпульсні структури. Описано процедуру ренормалізації оператора Гамільтона щодо стійкого фізичного вакуума, обговорено квантові збудження та квантові солітони, асоційовані з термодинамічною рівновагою моделі.

Проаналізовано підхід до вивчення функцій розподілу систем багатьох частинок за рівноважної температури та властивості їх стабільності, що базується на представленнях нерелятивістичної алгебри струмів. Показано, що метод породжуючого функції розподілу класичного функціонала Боголюбова є досить ефективним інструментом для побудови незвідних представлень алгебри струмів і відповідних узагальнених розкладів мір, включаючи відоме перетворення до колективних змінних. Запропоновано конструкцію ефективного оператора Гамільтона, обговорено особливості його спектра залежно від стійкості рівноваги систем багатьох частинок.