Побудовано кумулянтні (семіінваріантні) зображення для розв'язку початкової задачі ланцюжка рівнянь Боголюбова квантових систем частинок. У просторі послідовностей ядерних операторів доведено теорему існування та єдиності розв'язку. Досліджено питання еквівалентності різних зображень розв'язку у випадку статистики Максвелла - Больцмана.

Узагальнено метод нерівноважних кластерних розкладів еволюційних операторів побудови розв'язку початкової задачі для ланцюжка рівнянь Боголюбова на квантові системи частинок (статистика Максвела - Больцмана). Доведено критерій кумулянтного зображення розв'язку початкової задачі для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова на підставі побудованих розв'язків початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь фон Неймана. Доведено теорему існування та єдиності кумулянтного (семіінваріантного) зображення розв'язку початкової задачі для ланцюжка квантових рівнянь Боголюбова у просторі послідовностей ядерних операторів. Побудовано розв'язок початкової задачі для ланцюжка нелінійних рівнянь. Доведено теорему існування та єдиності розв'язку таких рівнянь у просторі інтегрованих функцій та у випадку точно розв'язуваної моделі досліджено властивості розв'язку для початкових даних, які є трансляційно-інваріантними за конфігураційними зміними функціями.

We construct a new representation of a solution to the initial-value problem to the quantum BBGKY hierarchy of equations as an expansion in terms of particle clusters, whose evolution is described by the corresponding-order cumulant (semi-invariant) of the evolution operators of finitely many particle quantum systems. We establish the existence and uniqueness theorem for initial data from the space of the sequences of trace class operators.

We investigate the initial-value problem of a non-linear Liouville hierarchy. For the general form of the interaction potential, we construct an explicit solution in terms of an expansion over particle clusters, whose evolution is described by the corresponding-order cumulant of evolution operators of a system of finitely many particles. For the initial data from the space of integrable functions, the existence of a strong solution of the Cauchy problem is proved.

For a solution of the initial-value problem of the BBGKY hierarchy for an infinite three-dimensional systems of particles interacting via a hard spheres potential, the Bogolyubov principle of the decay of correlations is proved.