Зазначено, що асимптотичні формули за великих значень параметра для розв'язків сингулярного квазідиференціального рівняння дозволяють оцінити функцію Гріна крайової задачі. За допомогою цієї оцінки побудовано розвинення за власними вектор-функціями сингулярного квазідиференціального оператора у випадку простих власних значень.

Для узагальненого квазідиференціального рівняння четвертого порядку побудовано фундаментальну матрицю та виведено еквівалентну рекурентну формулу. Наведено ілюстративний приклад одержання еквівалентної рекурентної формули для звичайного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами. Показано, як одержані результати можна використовувати для наближеного розв'язування (квазі)диференціальних рівнянь і відповідних задач Коші.

Установлено властивості некласичного інтеграла Рімана-Стільтьєса, на основі яких досліджено лінійні матричні інтегральні рівняння та відповідні системи диференціальних рівнянь з мірами.

Запропоновано методику дослідження динаміки і стійкості стрижневих систем із довільним розподілом масами, жорсткості та навантаження, розроблену на базі алгоритму методу граничних елементів і методу дискретизації елементів.

Вивчено спеціальні класи квазідиференціальних рівнянь довільного порядку з узагальненими функціями в коефіцієнтах і правих частинах. Загальні розв'язки таких рівнянь будуються в явній формі, що проілюстровано на конкретних прикладних задачах.

Запропоновано новий наближений метод розв'язування задач про втрату стійкості однопрольотних стрижнів зі змінними параметрами. В його основу закладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Одержані результати свідчать про ефективність методу під час розв'язування задач стійкості.

Розроблено алгоритм розрахунку стрижневих систем зі змінною жорсткістю на стійкість на базі методу граничних елементів. Застосовано теорію узагальнених квазідиференціальних рівнянь для розрахунку стрижневих систем. Виконано числову реалізацію алгоритму мовою програмування Pascal.

Наведено результати дослідження асимптотики власних значень і власних функцій та розвинення за ними крайових задач для звичайних диференціальних і квазідиференціальних рівнянь з мірами в коефіцієнтах. Побудовано відповідні асимптотичні формули та наведено умови, за яких можна розвивати функції в ряди за власними функціями. Увагу приділено асимптотиці фундаментальної системи розв'язків квазідиференціального рівняння, побудові скалярної функції Гріна та її властивостям, оцінці квазіпохідних функції Коші, розвиненню за власними функціями крайової задачі для диференціального рівняння.

Висвітлено теорію узагальнених квазідиференціальних рівнянь (УКДР) у контексті її розвитку, яка здійснюється на підставі розвитку концепції квазіпохідних, що допомагає звести до мінімуму вимоги на гладкість коефіцієнтів рівнянь. Описано узагальнені інтегральні та диференціальні системи. Розкрито основи концепції квазіпохідних, векторних і матричних УКДР, структуру їх розв'язків та особливості наближеного розв'язання.

Запропоновано новий наближений метод розрахунку частот вільних коливань стрижневих систем із рухомими вузлами та дискретно-неперервним розподілом параметрів. В основу методу покладено апроксимацію коефіцієнтів відповідних диференціальних рівнянь узагальненими функціями. Розроблено алгоритм розв'язку таких систем на базі методу граничних елементів. Застосовано теорію узагальнених квазідиференціальних рівнянь для розрахунку стрижневих систем. Виконано числову реалізацію алгоритму на мові програмування Pascal.

Для квазідиференціальних рівнянь другого порядку спеціального вигляду з кусково-сталими коефіцієнтами й узагальненими правими частинами в декартових, сферичних і циліндричних системах координат одержано розв'язки двоточкових задач у замкненій формі. Ці розв'язки виражаються через коефіцієнти рівнянь, праві частини та крайові умови і є справедливими для довільного розбиття відрізка інтегрування.

З'ясовано доцільність введення поняття квазіпохідних як ефективного апарату дослідження прикладних задач, що зводяться до розв'язування квазідиференціальних рівнянь. Такі рівняння виникають під час дослідження реальних фізичних процесів, виводяться на основі законів збереження та зображуються в дивергентній формі. Основні етапи розвитку концепції квазіпохідних наведено в хронологічному порядку від кінця 1930-х рр. до сьогодення. Надано новий поштовх розвитку теорії квазідиференціальних рівнянь. Основою цього було створення лінійної теорії скалярних і векторних квазідиференціальних рівнянь з узагальненими функціями в коефіцієнтах і правих частинах, які за допомогою певним чином введених квазіпохідних зводяться до коректних систем диференціальних рівнянь із мірами. Це дало можливість розвинути такі новітні напрямки досліджень як спектральна теорія узагальнених самоспряжених і несамоспряжених задач, теорія стійкості, наближені методи тощо.

Досліджено умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші для узагальненої диференціальної системи першого порядку із кусково-змінними коефіцієнтами. Одержано конструктивне зображення розв'язку задачі Коші для неоднорідної узагальненої системи. Застосування одержаних результатів проілюстровано на прикладі.

Побудовано матрицю-функцію Гріна крайової задачі для векторного квазідиференціального рівняння з узагальненими функціями в коефіцієнтах. За допомогою методу введення квазіпохідних та одержаних виразів для спряжених крайових умов досліджено властивості функцій Гріна спряжених крайових задач.

Для узагальнених коректних диференціальних систем першого порядку доведено теорему про збіжність розв'язків послідовності апроксимувальних задач до розв'язку вихідної задачі. Застосування теореми проілюстровано на прикладі задачі про вимушені поздовжні коливання стрижня з насадженими масами та узагальненими зовнішніми навантаженнями.

Досліджено структуру розв'язків лінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією з кусково-неперервними коефіцієнтами. Одержано конструктивне зображення розв'язку задачі Коші та вказано на способи його продовження праворуч і ліворуч від точки задання початкової умови. Розглянуто приклад застосування одержаних результатів у теорії теплопровідності.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.6

Рубрики:

Диференціальні рівняння

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Запропоновано ефективний метод дослідження стійкості стрижнів з урахуванням їх власної ваги, що полягає на зведенні відповідних двопараметричних задач на власні значення до сукупності двох однопараметричних. Досліджено залежність критичних навантажень від зміни власної ваги та температури на прикладі залізобетонних стрижнів.

Описано методи інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку. Розглянуто елементи постановок задач: Коші, крайової, багатоточкової. Викладено теорію лінійних диференціальних рівнянь \i n\i0-го порядку, описано метод варіації довільних сталих і метод Коші знаходження частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння. Висвітлено метод знаходження частинного розв'язку для рівнянь зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною. Показано, як звести рівняння Ейлера та Лагранжа до рівняння зі сталими коефіцієнтами. Розкрито загальні поняття про системи звичайних диференціальних рівнянь і в іншому - системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Висвітлено питання стійкості лінійних систем зі змінними та сталими коефіцієнтами, а в двох останніх - перший та другий методи Ляпунова.

Запропоновано й обгрунтовано схему розв'язування мішаної задачі для рівняння теплопровідності з кусково-неперервними коефіцієнтами за загальних крайових умов першого роду. Одержані результати можна використати під час дослідження процесу теплопередачі в багатошаровій плиті за умов ідеального теплового контакту між шарами.