In 1936 russian mathematician V.V. Ljush suggested the generalisation of complex numbers - quadriplex numbers. In the middle of 80-th it was understood that the quadriplex numbers can be useful for solution of some of inertial navigation problems. In the present report we give inderpendent of treatment of algebraic, geometrical and analytical properties of the quadriplex numbers.

Збірник присвячено першій видатній роботі А.В.Скорохода - "Предельные теоремы для случайных процессов", в якій запропоновано метод одного ймовірнісного простору та введено кілька топологій у простір функцій без розривів другого роду. Доведено граничні теореми, що є глибоким узагальненням відомого принципу інваріантності Донскера.

Опубліковано матеріали III міжнародної конференції, яка відбулася 12 - 18 липня 1999 р. у Києві. Розглянуто питання подальшого розвитку та застосування теоретико-групових методів у сучасній математичній фізиці та теорії диференціальних рівнянь. Поряд з аналізом симетрії та побудовою точних розв'язків складних багатовимірних нелінійних рівнянь, дані методи дозволяють будувати адекватні математичні моделі у фізиці, механіці, математичній біології та інших природничих науках.

Розглянуто процес застосування теоретико-групових методів у сучасній математичній та теоретичній фізиці, а також інших природничих науках. Значну увагу приділено квантовим групам, зображенню груп і алгебр Лі та деяким прикладним задачам, що досліджуються з використанням симетрійного аналізу.

Монографія присвячена дослідженню багаточастотних нелінійних коливних систем звичайних диференціальних рівнянь. Значну увагу звернуто на обгрунтування методу усереднення для систем з повільно змінними частотами і його застосуванню до розв'язання деяких класів крайових задач. Доведено нові теореми про існування інтегральних многовидів резонансних коливних систем, вивчено стійкість, гладкість і асимптотичний розклад інтегральних многовидів. В околі асимптотичного стійкого інтегрального многовиду здійснено декомпозицію рівнянь для позиційних та кутових змінних. Досліджено поведінку динамічної системи в околі квазіперіодичної траєкторії, знайдено умови звідності системи в такому околі до системи з квазіоперіодичними коефіцієнтами, а також вивчено властивості досліджуваної системи при малих збуреннях.

Проанализировано состояния теории и практики судовых гироскопических компасов к моменту распада СССР и сделан прогноз дальнейшего развития гирокомпасостроения на постсовестском пространстве.

Для процесів на ланцюгах виникає необхідність відповідного матричного узагальнення факторизаційних тотожностей, встановлених для звичайних однорідних процесів з незалежними приростами; для напівмарковських випадкових процесів виникають ускладнення, обумовлені неоднорідністю за часом цих процесів. В обох випадках встановлюються основні факторизаційні тотожності, які мають двоїстий характер: в першому випадку для матричної кумулянти має місце права та ліва факторизація, в другому - для скалярної функції, що відповідає допоміжному неоднорідному процесу, одержано двоїстий розклад. Один з цих розкладів визначає розподіл максимуму цього процесу та розподіл його доповнення, другий - розподіл мінімуму процесу та його доповнення. При цьому розподіл максимуму неоднорідного процесу суттєво відрізняється від розподілу доповнення до мінімуму того ж процесу, розподіл мінімуму процесу так само відрізняється від розподілу до максимуму. На основі одержання факторизаційних розкладів встановлюється співвідношення для інтегральних перетворень розподілу таких функціоналів, як: екстремуми розглядуваних процесів, моменти їх виходу за додатний (від'ємний) рівень (в деяких випадках - моменти виходу процесу з обмеженого інтервалу), моменти першого досягнення екстремумів, час перебування процесу над фіксованим рівнем та інші граничні функціонали, які в прикладних задачах теорії ймовірностей мають специфічну інтерпретацію. Тому результати дослідження розподілу цих функціоналів мають не лише теоретичний інтерес.

Для лінійних систем у формі Коші парного порядку розглянуто задачу зведення до системи рівнянь другого порядку, форма якої характерна для механічних систем. Наведено умови зведення та механічні аналогії, що враховують зв'язок між відповідними матрицями коефіцієнтів та їх підматрицями.

Рассмотрены особенности устройства и функционирования динамически настраиваемых гироскопов (ДНГ), возможности и перспективы их использования в гирокомпасах.

Запропоновано крайову умову змінності кута на лінії перетину вільної поверхні рідини та твердої стінки для лінійної задачі, що описує коливний рух ідеальної рідини в посудині під дією сил слабкого гравітаційного поля. У теорії руху рідини в посудині, з урахуванням сили поверхневого натягу, приймається припущення: кут між вільною поверхнею і твердою стінкою не змінюється в процесі руху рідини, і розглядається задача з крайовою умовою, що випливає з цього допущення. Проте це не доведено експериментально, тому невідомо: чи буде постійним такий кут у процесі руху. Запропонована крайова умова має припущення, що кут змінюється за певним законом.

Задача о колебаниях идеальной жидкости со свободной поверхностью в баке анализируется методами аналитической механики. Значительное внимание уделено вопросам построения конечномерной математической модели, отражающей основные свойства поведения механической системы. Приведены результаты исследования процесса, подобного биениям.

Исследовано явление ответвления новых форм установившихся движений в системах шарнирно-связанных твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной вертикали. Задача о бифуркациях сведена к исследованию характеристических чисел некоторых пучков матриц. В качестве конкретного примера рассмотрены бифуркации динамически несимметричной центрифуги, подвешенной посредством системы шарнирно-связанных весомых цилиндрических стержней.

Приводятся результаты теории функций вещественного переменного, функционального анализа и теории операторов, используемые в данной работе. С помощью обобщенных мультипликативных неравенств выводятся интегральные оценки некоторых нелинейных дифференциальных операторов, встречающихся при математическом моделировании задач конвекции вязкой жидкости. Введено понятие вязкой термически неоднородной слабо сжимаемой жидкости и формулируется в общем виде соответствующая начально-краевая задача, которая обобщает классическую модель Буссинеска. Исследуется общая трехмерная задача конвекции вязкой термически неоднородной слабо сжимаемой жидкости, которая характеризуется двумя малыми параметрами и формулируется в терминах "скорость" - "температура" - "давление". Рассматриваются вопросы устойчивости обобщенных решений задач конвекции. Доказаны глобальные теоремы существования и единственности слабых решений для различных начально-краевых задач конвекции при наличии осевой симметрии: задачи Буссинеска, задачи для вязкой несжимаемой жидкости с диссипацией энергии, задачи для термически неоднородной несжимаемой и слабо сжимаемой жидкости. Для всех указанных задач доказаны также теоремы о непрерывной зависимости обобщенных решений от данных задачи, об их асимптотической устойчивости, а также выведены априорные оценки, характеризующие затухание решений с ростом времени. Построена новая математическая модель, описывающая конвекцию теоретически неоднородной слабо сжимаемой жидкости.

Рассмотрены кватернионные математические модели с акцентом на их комплексно-числовые варианты в форме вектора удвоения и унитарных матриц.

Разработана общая методика локализации собственных значений матричных полиномов и функций, которая сводится к решению матричных уравнений. Для широкого класса уравнений устанавливаются теоремы, которые обобщают известные свойства уравнений Ляпунова. Предложена новая методика представления решений линейных дифференциальных и разностных систем. Изучены монотонные и монотонно обратимые операторы в пространстве матриц.

Рассмотрен класс инерциальных систем навигации, построенных на основе невозмущаемых маятниково-гироскопических платформ активного топлива.

Рассматриваются линейные операторы в конечномерных S-пространствах, критические точки точных функций на двумерных ориентируемых многообразиях, компоненты пространств отображений Морса, а также размерность иррегулярных подмножеств евклидовых пространств. Приведены теорема о слиянии критических точек в точку, полный топологический инвариант для диффеоморфизмов Морса-Смейла, периодические решения и инвариантные канонические формы для систем второго порядка. Исследуются топологические свойства динамических систем Понтрягина, вложения геометрических реализаций планарных подстановок в плоскость, а также качественное поведение решений нелинейного дифференциального уравнения в частных производных второго порядка, близкого к инвариантному. Предложено конструктивное построение и описаны групповые свойства центрального многообразия линейных систем с постоянными коэффициентами и др.

Обзор содержит описание основных достижений современной теории совместных движений тел с полостями, содержащими жидкость. В работе наряду с классическими аналитическими и численно-аналитическими результатами о гравитационных и инерционных волнах в подвижном сосуде сформулированы и проанализированы новые математические проблемы, возникающие при анализе взаимодействия ограниченного объема жидкости с вибрационными и акустическими полями.

З метою вирішення різноманітних проблем керування реальними динамічними системами вперше побудовано деяку адекватну певній ситуації (динаміці суб'єкта) модель. Зокрема, модель може мати деякий набір завчасно невідомих параметрів, які вибрано в процесі керування. Наприклад, у лінійних механічних керованих системах ці параметри можуть входити до зворотного зв'язку (елементи матриці підсилення коефіцієнтів зворотного зв'язку), а також симетричної додатно визначеної матриці у других похідних, яка характеризує розподіл мас у системі на початку її проектування. Аналогічна матриця у старших похідних лінійної моделі багатопродуктової економіки характеризує зовнішні та внутрішні інвестиції в економіку. Її елементи можна вибрати довільно в певних межах, відповідно до можливостей інвестора. У розглянутих випадках ми маємо не традиційну, а неокласичну задачу керування динамічною системою, у якій застосовано інформацію не про вектор стану системи, а про старші похідні. Важливо, що не повністю керована динамічна система у класичному випадку може стати керованою за наявності додаткової інформації про старші похідні.

Визначено основні лінеаризовані співвідношення геометрично нелінійної (квадратичне наближення) теорії тонких пружних мембран. На цій основі побудовано алгоритм дослідження вільних коливань полої деформованої рівномірним тиском початково плоскої мембрани, обмеженої нерухомим контуром еліптичної форми. Наведено чисельні результати для різного типу коливань, еліптичних в плані оболонок.