Сферическая геометрия. Проективная геометрия. Модели геометрии Лобачевского. Гиперболическая элементарная геометрия. Три типа собственных движений плоскости Лобачевского. Замощение треугольниками сферы, плоскости и плоскости Лобачевского. Фундаментальная область модулярной группы.Теорема Пуанкаре о фундаментальном многоугольнике. Пространство Лобачевского. Ориентация. Задачи и решения письменных экзаменов.

Выпускаемое в настоящем издании небольшое сочинение Лобачевского „Геометрические исследования по теории параллельных линий" принадлежит к числу последних его геометрических работ. Данное сочинение содержит элементарное изложение начал неевклидовой геометрии. Оно было опубликовано Лобачевским в 1840 г. на немецком языке под названием „Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien" и выпущено в свет в Берлине. Элементы неевклидовой геометрии изложены в этом небольшом сочинении с удивительным искусством. За сто лет, истекших со времени опубликования „Геометрических исследований", идеи Лобачевского многообразно перекристаллизовались в умах многочисленных геометров, размышлявших над этими вопросами. Многие выводы в настоящее время упрощены, некоторые концепции иначе оформлены; часто иначе строится тригонометрия, но синтетическое изложение начал неевклидовой геометрии этого типа и по настоящее время сохранило общую схему „Геометрических исследований", подобно тому как построение начал обыкновенной геометрии и по сие время носит на себе отпечаток схемы Евклида. „Геометрические исследования" представляют собой перл геометрического творчества и навсегда останутся образцом изложения своеобразных новых идей в элементарной форме. По „Геометрическим исследованиям" с неевклидовой геометрией впервые познакомились математики конца шестидесятых и начала семидесятых годов XIX столетия.

В первой части книги кратко, но систематично Изложена геометрия Лобачевского, освещены основные идеи этой геометрии и их огромное влияние на развитие науки. Во второй части изложены основные положения „Начал" Евклида и элементы оснований геометрии. Книга будет служить полезным пособием для учителей математики средней школы, а также для учащихся старших классов.

Николай Иванович Лобачевский (1792–1856) — создатель неевклидовой геометрии (геометрии Лобачевского). Ректор Казанского университета (1827–46). Открытие Лобачевского (1826, опубликованное 1829–30), не получившее признания современников, совершило переворот в представлении о природе пространства, в основе которого более 2 тыс. лет лежало учение Евклида, и оказало огромное влияние на развитие математического мышления.

Настоящая брошюра имеет целью познакомить читателя с историей возникновения неевклидовой геометрии, идеями Лобачевского, его жизнью, полной борьбы за научную истину, с воздействием неевклидовой геометрии на формирование современной математики и физики. Брошюра рассчитана на самого широкого читателя.

Пособие предназначено для внеклассного чтения учащихся VIII—X классов. Основную часть его составляет доступное изложение геометрических идей Лобачевского. В конце дан обзор дальнейшего развития неевклидовой геометрии и современных применений геометрии Лобачевского в математике и физике.

В настоящем сборнике помещены одна речь и пять общедоступных очерков В. Ф. Кагана о Лобачевском и его геометрии. Написанные крупнейшим специалистом в области неевклидовой геометрии, они читаются как художественные произведения. Хотя эти очерки писались в разное время и с различными целями, но, вместе взятые, они представляют собой стройное и полное изложение.

Книга представляет собой очень сжатое, но тщательно выполненное изложение основ геометрии Лобачевского, и ее можно рекомендовать для первого ознакомления с замечательной геометрической системой, носящей имя ее творца. Для понимания первых шести глав достаточно знания элементарной математики. Для лиц, желающих познакомиться с основами геометрии Лобачевского, в первую очередь школьников старших классов и преподавателей математики средней школы. 1-е издание выходило в 1955 г.

В 1893 году, к столетнему юбилею со дня рождения Лобачевского, Казанское физико-математическое сообщество выпустило в свет сборник "О основаниях геометрии". Он содержал переводы 6 главных работ, посвященных интерпретации геометрии Лобачевского и развитию его идей: две работы Бельтрами(о интерпретации неевклидовой геометрии и о местах неизменной кривизны), работы Римана, Гельмгольца и Пуанкаре о основаниях геометрии и замечание Ли на работу Гельмгольца; к ним была приложена переписка Гаусса с Шумахером. Сборник живо разошелся и через два года вышел вторым изданием; в нем был дополнительно помещен известный мемуар Гаусса "Общие исследования о кривых поверхностях". Два издания издавна стали библиографической диковиною; помещенные в их работы практически не издавались.

Посвящается главным образом фуксовым группам - разрывным группам движений на плоскости Лобачевского. Этот раздел математики тесно связан со многими математическими теориями. В книге излагаются результаты - от ставших классическими до сравнительно новых - по геометрии действия фуксовых групп. На русском языке почти отсутствует литература по этим вопросам.

В книге дано такое изложение первых понятий и теорем геометрии и тригонометрии Лобачевского, которое не строже изложения учебников Давидова и Киселева и не труднее его. Приводятся только те понятия и теоремы геометрии Лобачевского, которые необходимы для вывода основных формул его тригонометрии.