Індекс рубрикатора НБУВ: В161.62

Рубрики:

Диференціальні рівняння у частинних похідних

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.62

Рубрики:

Диференціальні рівняння у частинних похідних

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

У циліндричній області досліджено коректність задачі з нелокальними умовами для слабко нелінійних рівнянь високого порядку з частинними похідними та змінними коефіцієнтами в лінійній частині оператора. Для майже всіх (стосовно міри Лебега) параметрів задачі встановлено умови класичної розв'язності задачі.

Для узагальненого квазідиференціального рівняння четвертого порядку побудовано фундаментальну матрицю та виведено еквівалентну рекурентну формулу. Наведено ілюстративний приклад одержання еквівалентної рекурентної формули для звичайного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами. Показано, як одержані результати можна використовувати для наближеного розв'язування (квазі)диференціальних рівнянь і відповідних задач Коші.

Исследована корректность задачи с общими нелокальными краевыми условиями по временной переменной и условиями периодичности по пространственным координатам для уравнений с частными производными, не разрешенных относительно старшей производной по времени. Установлены условия существования и единственности решения рассматриваемой задачи. При доказательстве существования решения использован метод разделенных разностей. Доказаны метрические утверждения об оценках снизу малых знаменателей, возникающих при построении решения задачи.

Розглянуто можливість одержання наближених розв'язків диференціальних рівнянь з мірами шляхом апроксимації елементів матриці відповідної диференціальної системи першого порядку.

Досліджено задачу на стиск і кручення валу зі сталою жорсткістю на основі концепції квазіпохідних. Знайдено наближений розв'язок задачі на власні значення для валу зі змінною жорсткістю.

Вивчено спеціальні класи квазідиференціальних рівнянь довільного порядку з узагальненими функціями в коефіцієнтах і правих частинах. Загальні розв'язки таких рівнянь будуються в явній формі, що проілюстровано на конкретних прикладних задачах.

У циліндричній області, яка є добутком відрізка на тор, досліджено коректність задачі з нелокальними умовами для безтипних рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. Для майже всіх значень (стосовно міри Лебега) двох вибраних параметрів встановлено умови коректності задачі.

Досліджено спектральні властивості задачі на власні значення для системи квазідиференціальних рівнянь із розподілами у коефіцієнтах. Установлено необхідні та достатні умови існування розв'язків відповідної неоднорідної крайової задачі. Одержано зображення розв'язків в інтегральній (фредгольмовій) формі за допомогою конструктивно побудованої матричної функції Гріна та у формі (Шмідта) абсолютно та рівномірно збіжного ряду за власними вектор-функціями.

Розглянуто задачі з нелокальними умовами за виділеною змінною t та деякими крайовими умовами за іншими змінними для певних класів рівнянь і систем рівнянь з частинними похідними у циліндричних областях. Встановлено умови коректності та побудовано розв'язки таких задач для лінійних безтипних рівнянь і систем рівнянь зі сталими та змінними коефіцієнтами. Визначено умови однозначної розв'язності нелокальних задач для слабко нелінійних безтипних рівнянь з частинними похідними. Доведено нові метричні твердження про оцінки знизу малих знаменників, які виникають під час дослідження та побудови розв'язків розглядуваних задач.

Висвітлено теорію узагальнених квазідиференціальних рівнянь (УКДР) у контексті її розвитку, яка здійснюється на підставі розвитку концепції квазіпохідних, що допомагає звести до мінімуму вимоги на гладкість коефіцієнтів рівнянь. Описано узагальнені інтегральні та диференціальні системи. Розкрито основи концепції квазіпохідних, векторних і матричних УКДР, структуру їх розв'язків та особливості наближеного розв'язання.

Для квазідиференціальних рівнянь другого порядку спеціального вигляду з кусково-сталими коефіцієнтами й узагальненими правими частинами в декартових, сферичних і циліндричних системах координат одержано розв'язки двоточкових задач у замкненій формі. Ці розв'язки виражаються через коефіцієнти рівнянь, праві частини та крайові умови і є справедливими для довільного розбиття відрізка інтегрування.

Досліджено коректність задачі з нелокальними умовами для лінійних систем рівнянь із частинними похідними. Встановлено умови існування та єдиності її розв'язку. Доведено метричні теореми про оцінки знизу малих знаменників, що виникають під час побудови розв'язку задачі.

Досліджено умови існування та єдиності розв'язку задачі Коші для узагальненої диференціальної системи першого порядку із кусково-змінними коефіцієнтами. Одержано конструктивне зображення розв'язку задачі Коші для неоднорідної узагальненої системи. Застосування одержаних результатів проілюстровано на прикладі.

Для узагальнених коректних диференціальних систем першого порядку доведено теорему про збіжність розв'язків послідовності апроксимувальних задач до розв'язку вихідної задачі. Застосування теореми проілюстровано на прикладі задачі про вимушені поздовжні коливання стрижня з насадженими масами та узагальненими зовнішніми навантаженнями.

Досліджено структуру розв'язків лінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсною дією з кусково-неперервними коефіцієнтами. Одержано конструктивне зображення розв'язку задачі Коші та вказано на способи його продовження праворуч і ліворуч від точки задання початкової умови. Розглянуто приклад застосування одержаних результатів у теорії теплопровідності.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.6

Рубрики:

Диференціальні рівняння

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розроблено методи побудови точних аналітичних розв'язків відповідних граничних задач для узагальнених квазідиференціальних рівнянь. Виділено спеціальні класи квазідиференціальних рівнянь, для яких одержано формули конструктивної побудови точних аналітичних розв'язків граничних задач. Проведено чисельний аналіз і встановлено нові закономірності процесів теплопередачі та коливань у тілах дискретно-неперервної структури. Встановлено умови збіжності послідовності розв'язків апроксимуючих задач для узагальнених систем диференціальних рівнянь першого порядку до розв'язку вихідної задачі. На основі розроблених чисельно-аналітичних методів створено пакет програм, які використано для комп'ютерного моделювання процесів вільних і вимушених коливань балок змінної жорсткості з дискретно-неперервним розподілом параметрів за різних типів закріплення кінців балок, для кількісного аналізу умов стійкості таких балок, а також для моделювання процесів теплопередачі у багатошарових тілах із врахуванням внутрішніх точкових джерел тепла.

Запропоновано й обгрунтовано метод побудови аналітичного розв'язку граничних задач для спеціального класу систем неоднорідних диференціальних рівнянь із мірами без побудови функції Гріна. Застосування одержаних результатів проілюстровано на прикладі математичної моделі вимушених коливань консольної балки з насадженими дисками й узагальненими зовнішніми навантаженнями. Числовий аналіз проведених розрахунків показав ефективність запропонованого апроксимаційного методу.