Вивчено зв'язок між коректністю еквіваріантної задачі для рівняння Пуассона в кулі та спектра оператора, що її породжує.

Пропонується схема вивчення коректності еквіваріантної задачі та спектра відповідного оператора.

Изложены математические вопросы теории двумерных стационарных течений вязкой несжимаемой электропроводной жидкости в сильных магнитных полях. Рассмотрены течения в ограниченной области и бесконечно длинной трубе в постоянном по времени трансверсальном потоку жидкости магнитном поле. Приведены глобальные и внутренние асимптотические двусторонние априорные оценки решений первой краевой задачи магнитной гидродинамики в случае естественных ограничений на краевые значения скорости течения. На основе этих оценок доказаны новые теоремы существования и нелокальные условия единственности решений.

Рассмотрены граничные задачи для линейных дифференциальных уравнений с частными производными в области типа уравнения. Освещены методы изучения граничных задач, которые основываются на формуле Грина. Особое внимание уделено вопросам общей теории граничных задач, вопросам существования, единственности и корректности граничных задач в шкале соболевских пространств для общих дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в ограниченной области на плоскости, в круге.

У плоскій області, що обмежена біквадратною кривою, розглянуто проблему єдиності розв'язку задачі Діріхле для рівняння коливання струни. Показано, що ця проблема є еквівалентною класичній проблемі Понселе з проективної геометрії для двох придатних еліпсів, а також проблемі розв'язності алгебричного рівняння Пелля - Абеля, з якими пов'язані деякі інші задачі.

Розглянуто проблему розв'язності неоднорідної задачі Діріхле в обмеженій області для скалярного неправильно еліптичного диференціального рівняння з комплексними коефіцієнтами. Досліджено модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а в рівнянні відсутні молодші члени. Доведено, що класами даних Діріхле, для яких задача має єдиний розв'язок у просторі Соболєва, є простори функцій з експоненціальним спаданням коефіцієнтів Фур'є.

У плоскій обмеженій області з гладкою межею розглянуто проблеми фредгольмовості та коректності загальної диференціальної граничної задачі для загального неправильно еліптичного рівняння.

Розглянуто проблему розв'язності неоднорідної задачі Неймана і один випадок задачі зі скісною похідною в обмеженій області для скалярного неправильно еліптичного диференціального рівняння з комплексними коефіцієнтами. Досліджено модельний випадок, коли за область вибрано одиничний круг, а рівняння не має молодших членів. Доведено, що класами граничних даних, для яких задачі мають єдиний розв'язок у просторі Соболєва, є простори функцій з експоненціальним спаданням коефіцієнтів Фур'є.

Розглянуто питання розв'язності неоднорідної третьої крайової задачі в обмеженій області для скалярного неправильно еліптичного диференціального рівняння з комплексними коефіцієнтами й однорідним символом. Доведено, що класами граничних даних, для яких задача має єдиний розв'язок у просторі Соболєва над кругом, є простори функцій з експоненціальним спаданням коефіцієнтів Фур'є.