In 1936 russian mathematician V.V. Ljush suggested the generalisation of complex numbers - quadriplex numbers. In the middle of 80-th it was understood that the quadriplex numbers can be useful for solution of some of inertial navigation problems. In the present report we give inderpendent of treatment of algebraic, geometrical and analytical properties of the quadriplex numbers.

Отримано узагальнені рівняння Ейлера для системи прискорення. Знайдені рівняння вміщують всі інерційні сили і їх моменти в загальному вигляді. Показано, що для випадку сепарабельних загальних ейлеровських рівнянь вони можуть розглядатися з використанням торсорної теорії.

Доведено, що амплітуди та фази власних коливань лінійної коливної системи, збуреної або "швидким" процесом Маркова, або ж малим вінеровим процесом, можна асимптотично описати дифузійним процесом, генератор якого обчислюється.

На основі трьох систем координат (одна інерціальна і дві неінерціальні) виведено загальні рівняння руху голономної механічної системи зі ступенями вільності з використанням апарату рівнянь Лагранжа II роду. Запропонований метод дозволяє визначити коріолісові і гіроскопічні сили, а також встановити відмінність між ними.

Визначено стохастичну динаміку, яка є границею Больцмана-Греда від гамільтонової динаміки системи пружних куль. Введено нову концепцію середніх від спостережуваних за станами стохастичних систем. В ньому враховуються вклади від гіперповерхонь, на яких взаємодіють точкові стохастичні частки. Подано строге визначення інфінітезімальних операторів для півгрупи еволюційних операторів.

Досліджується слабко збурена динамічна система Ван-дер-Поля та структура поведінки її траєкторій на основі сучасної симплектичної теорії. Використовується метод Самойленка-Прикарпатського досліження інтегральних підмноговидів слабко збурених повністю інтегровних Гамільтонових систем, встановлюється регулярність деформацій Лагранжевих асимптотичних підмноговидів в околі гіперболічної періодичної орбіти.

Побудовано математичну модель і описано метод знаходження стаціонарних станів маятника, які неперервно залежать від одного скалярного параметра. Показано, що асиметрія слідкувальної сили призводить до біфуркацій стаціонарних станів і катастроф складки та збирання.

Для лінійних систем у формі Коші парного порядку розглянуто задачу зведення до системи рівнянь другого порядку, форма якої характерна для механічних систем. Наведено умови зведення та механічні аналогії, що враховують зв'язок між відповідними матрицями коефіцієнтів та їх підматрицями.

Наведено загальні теореми про стійкість стаціонарних станів механічних систем під дією неконсервативних позиційних сил. Проаналізовано ряд конкретних задач механіки: гіроскопічні системи, дволанковий маятник зі слідкуючою силою і пружно закріпленим верхнім кінцем, багатоланкові пневмоколісні екіпажі, однорейковий вагон, рейкові екіпажі. Викладено методи дослідження дивергентних біфуркацій і катастроф стаціонарних станів.

Рассмотрены особенности устройства и функционирования динамически настраиваемых гироскопов (ДНГ), возможности и перспективы их использования в гирокомпасах.

Викладено основні теоретичні відомості, необхідні для розв'язування динамічних задач на основі законів Ньютона. Висвітлено алгоритмічний підхід до розв'язування задач з даної теми та надано методичні рекомендації щодо його практичного застосування. Наведено варіанти розв'язання значної кількості типових задач, для самостійної роботи студентів запропоновано кількісні та якісні задачі.

Запропоновано крайову умову змінності кута на лінії перетину вільної поверхні рідини та твердої стінки для лінійної задачі, що описує коливний рух ідеальної рідини в посудині під дією сил слабкого гравітаційного поля. У теорії руху рідини в посудині, з урахуванням сили поверхневого натягу, приймається припущення: кут між вільною поверхнею і твердою стінкою не змінюється в процесі руху рідини, і розглядається задача з крайовою умовою, що випливає з цього допущення. Проте це не доведено експериментально, тому невідомо: чи буде постійним такий кут у процесі руху. Запропонована крайова умова має припущення, що кут змінюється за певним законом.

Обоснован подход, сформулирована теорема, дан метод и приведен алгоритм при введении ограничений на топологию распределения масс в механических колебательных системах с конечным числом степеней свободы, позволяющие решать задачу параметрической идентифицируемости.

Задача о колебаниях идеальной жидкости со свободной поверхностью в баке анализируется методами аналитической механики. Значительное внимание уделено вопросам построения конечномерной математической модели, отражающей основные свойства поведения механической системы. Приведены результаты исследования процесса, подобного биениям.

Исследованы возмущенные вращательные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии в случае Лагранжа, когда восстанавливающий момент зависит от угла нутации. Сделано предположение, что проекции вектора возмущающего момента на главные оси инерции тела имеют различные порядки малости по сравнению с восстанавливающим моментом. Специальным образом введен малый параметр, применен метод усреднения. Получена усредненная система уравнений движения в первом приближении.

Исследовано явление ответвления новых форм установившихся движений в системах шарнирно-связанных твердых тел, вращающихся вокруг неподвижной вертикали. Задача о бифуркациях сведена к исследованию характеристических чисел некоторых пучков матриц. В качестве конкретного примера рассмотрены бифуркации динамически несимметричной центрифуги, подвешенной посредством системы шарнирно-связанных весомых цилиндрических стержней.

На основі континуальної та дискретної моделі природно закрученої нитки одержано розв'язки задач про вільні та вимушені коливання канатів з вантажами в рідині. Дослiджено взаємодію поздовжніх та крутильних коливань реальних стальних канатів, яка найбільш суттєво реалізується в умовах головних та демультиплікаційних резонансів. Одержані результати у багатьох випадках суттєво уточнюють знайдені за допомогою моделювання канату пружною ниткою.

Доведено існування умовно-періодичних і хаотичних траєкторій подвійного математичного маятника за умови немалих відношень мас.

В рамках першого асимптотичного "покращеного" наближення узагальнено дослідження допустимих квазігармонічних режимів у механічній автоколивальній системі з післядією, характерних для резонансної і нерезонансної зон в умовах незначного зовнішнього періодичного збудження.

Розглядаються прецесійні коливання жорсткого диска, що обертається та має неоднакові осьові моменти інерції, несиметрично розташованого відносно опор при повороті осі обертання. Побудовано періодичні рішення рівнянь руху в залежності від кутової швидкості повороту осі обертання, амплітудно-частотні залежності, визначені критичні швидкості обертання дисків із різними співвідношеннями моментів інерції з урахуванням гіроскопічних сил, виконано аналіз стійкості руху системи при різних значеннях кутової швидкості обертання.