Наведено методи розв'язання зазначених рівнянь; базуються вони на зведенні до систем лінійних алгебраїчних. Відмінною рисою запропонованих методів від уже відомих є ефективність та простота реалізації.

Рассматривается двумерное нелинейное интегральное уравнение Вольтерра-Урысона. Его решение осуществляется сходящимся для вольтерровских уравнений итерационным методом с использованием аппроксимационных сплайн-функций. На основе аппроксимационных бипараболических и бикубических сплайнов получены в явном виде кубатурные формулы. Произведены оценки погрешностей и сформулированы соответствующие теоремы.

Рассмотрены особенности корректного вычисления конечной части по Адамару гиперсингулярных интегралов в плоских и пространственных задачах механики сплошной среды, а также свободных колебаний элементов конструкций при взаимодействии с жидкостью и газом. Описаны новые варианты метода граничных элементов в сочетании с методами конечных элементов и проекционным. Проанализирована сходимость числовых методов решения сингулярных и гиперсингулярных интегральных уравнений, к которым сводятся данные плоские и пространственные задачи.

Розглянуто проблему кутових точок і кутових неінтегральних членів у процесі числового розв'язання граничних інтегральних рівнянь згину тонких плит. Запропоновано перетворення цих членів на основі умови неперервності повного моменту у кутовій точці, яке дозволяє звести додаткові члени до поправок основних коефіцієнтів. Співвідношення виведені для лінійної розривної апроксимації щільностей потенціалів.

Проанализировано современное состояние методов числового решения интегральных уравнений. Изложены основы вычисления определенных, сингулярных и гиперсингулярных одномерных и двумерных интегралов, а также числового решения уравнений с ними. Описаны гиперсингулярные интегральные уравнения, к которым сводится задача Неймана для уравнений Лапласа и Гельмгольца. Приведен новый способ изложения элементов теории потенциала.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.163

Рубрики:

Наближене розв'язання інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь

Шифр НБУВ: Ж15664 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Надано узагальнення методу вироджених ядер, який використовується у ході розв'язування лінійних інтегральних рівнянь (ІР), на випадок нелінійних ІР типу Гаммерштейна, що виникають у задачах синтезу різних типів випромінювальних систем. Обгрунтовано збіжність розв'язків наближеного рівняння до розв'язків точного рівняння.

Установлены условия существования решений краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений с ограничениями и обосновано применение итерационного метода.

Обгрунтовано ефективність непрямого методу приграничних елементів для побудови та числово-аналітичного розв'язування систем граничних інтегральних рівнянь, до яких зводиться нестаціонарний процес теплопровідності в однорідних областях довільної форми. Це дозволило у порівнянні з непрямим методом граничних елементів послабити сингулярність граничних інтегральних рівнянь, спростити побудову дискретно-континуальних моделей та істотно підвищити точність обчислення шуканої температури поблизу меж об'єктів. Розглянуто використання приграничних елементів (ПГЕ) чотирьох типів (шестигранники з неплоскими гранями, криволінійні плоскі чотирикутники, сімейства кривих і точок) для знаходження нестаціонарного теплового поля. Теоретично та числово проаналізовано запропоновані підходи. Показано, що для оптимально вибраної товщини приграничної області точність обчислення температури на границях круга та квадрата є вищою під час використання чотирикутників і сімейств дуг, покращується у разі збільшення кількості дуг і точок та поєднанні різних типів ПГЕ (зокрема, чотирикутників і сімейств дуг).

Встановлено умови сумісності задачі з обмеженнями для нелінійних інтегральних рівнянь зі слабкою нелінійністю. Запропоновано та обгрунтовано нестаціонарний проекційно-ітеративний метод для нелінійних інтегральних рівнянь зі слабкою нелінійністю та додатковими умовами.

За допомогою узагальнення числово-аналітичного методу встановлено достатні умови існування розв'язків систем рівнянь із частинними похідними з інтегральною умовою.

Одержано аналітичні розв'язки одного класу нелінійних інтегральних рівнянь типу Гаммерштейна, які виникають у задачах з вільною фазою за різних застосувань. Розроблено методику знаходження всіх розв'язків таких рівнянь та дослідження процесу їх галуження. Установлено існування точок появи та зникнення розв'язків і досліджено природу їх трансформації. Числово встановлено, що оптимальні розв'язки одержуються завдяки поліномам з найвищим степенем.

Узагальнено методику визначення умов сумісності інтегральних рівнянь з обмеженнями. Розроблено новий варіант ітераційного способу знаходження наближених розв'язків лінійної задачі та встановлено достатні умови збіжності й оцінки похибки запропонованого методу. Застосовано ітераційний, модифікований проекційно-ітеративний і нестаціонарний проекційно-ітеративний методи до нелінійних інтегральних рівнянь зі слабкою нелінійністю з обмеженнями, здійснено їх обгрунтування та розроблено обчислювальні схеми, зручні у використанні.

Індекс рубрикатора НБУВ: В192.163,022

Рубрики:

Наближене розв'язання інтегральних та інтегро-диференціальних рівнянь

Шифр НБУВ: РА303200 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розроблено ефективні числові методи розв'язування інтегральних рівнянь I роду та їх операторні узагальнення. Доведено оптимальність за точністю та досягнуто економічність у аспекті обсягу задіяної дискретної інформації для побудованого класу наближених методів розв'язування некоректних задач з операторами скінченної гладкості за соболєвським типом для випадку збурених вхідних даних. Для інтегральних рівнянь Фредгольма I роду на півосі з ядрами, що спадають на нескінченності з поліноміальною швидкістю, запропоновано нові економічні кусково-сталі схеми дискретизації, які враховують гладкісні властивості рівняння. Установлено апроксимаційні властивості цих систем, що забезпечують найкращу точність відповідних регуляризувальних методів. Згідно зі шкалою соболєвських просторів досліджено апроксимаційні властивості повністю дискретного проекційного методу у разі розв'язування інтегрального рівняння Сімма для скінченно гладкої замкненої межі.

Створено алгоритмічні основи та побудовано прикладні програмні засоби дослідження багатозв'язних динамічних об'єктів, які описуються системами інтегральних рівнянь Вольтерра. На підставі аналізу особливостей інтегральних моделей і методів їх числової реалізації розроблено алгоритми розв'язання систем лінійних і нелінійних інтегральних рівнянь Вольтерра I і II роду, які враховують вимоги щодо точності одержаних розв'язків, забезпечують ефективну комп'ютерну імплементацію з застосуванням різних числових методів. Ефективність алгоритмів перевірено під час розв'язання певних модельних прикладів і прикладних задач. З використанням запропонованих алгоритмів розроблено комплекс прикладних програм для дослідження широкого класу динамічних об'єктів у середовищі MATLAB.

В дисертації встановлено умови розв'язності задачі з параметрами для сингулярних інтегральних рівнянь і умови сумісності задачі з обмеженнями для сингулярних інтегральних рівнянь. Запропоновано і обгрунтовано ітераційний і проекційно-ітеративний методи розв'язання такого типу задач для лінійних сингулярних інтегральних рівнянь, та ітераційний і модифікований варіант проекційно-ітеративного методу розв'язання задач для сингулярних інтегральних рівнянь з малою нелінійністю. Для запропонованих методів отримані умови їх збіжності, оцінки похибки, що характеризують швидкість збіжності, і конструктивні оцінки похибки, побудовані зручні обчислювальні схеми.

Дисертація присвячена побудові теорії розв'язності інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем з різницевими та сумарними ядрами і інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем з різницевими ядрами та з комплексно спряженими значеннями невідомих функцій, а також розробці та обгрунтуванню методів наближеного розв'язання різних типів інтегро-диференціальних рівнянь Вінера-Хопфа та їх систем.

Створено теорію розв'язності сингулярних інтегральних рівнянь (СІР) та їх систем з ядром Коші на складному контурі Ляпунова у випадку, коли їх символи мають на контурі нескінченну множину нульової міри нулів такого порядку, що логарифм модуля символа інтегрований на контурі, а також побудовано нормалізуючі простори для деяких класів СІР та їх систем зі зсувом Карлемана, коли їх символи мають на контурі нескінченну множину нульової міри нулів такого порядку, що логарифм модуля символа інтегрований на контурі. Запропоновано метод, який дає змогу точно підрахувати кількість та побудувати лінійно незалежні розв'язки однорідної системи СІР з дробово-лінійним зсувом Карлемана, що змінює орієнтацію, і однорідної системи СІР з комплексним спряженням та дробово-лінійним зсувом Карлемана, що зберігає орієнтацію. Установлено достатні умови збіжності методів редукції та колокацій наближеного розв'язання СІР та їх систем з ядром Коші на одиничному колі, коли їх символи мають на контурі нулі будь-якого скінченного порядку на нескінченній множині міри нуль.

Дисертація присвячена розробці скінченно-елементної чисельної реалізації методу зведення до системи ЛІДР. Розроблена методика побудови наближених розв'язків граничних задач еліптичного типу для двовимірних областей складної форми та трьохвимірних областей, яка базується на використанні високоточних формул інтерлінації та інтерфлетації. Запропоновано нові інтерлінаційні формули та одержані оцінки їх похибки, що дозволяє розв'язувати запропонованим методом більш широкий клас задач. При генерації сітки запропоновано введення вектор-вузлів та розроблена система їх кодування, що значно підвищує ефективність чисельних методів розв'язання СЛАР, до якої зводиться гранична задача.