Для варіаційної задачі на мінімакс, яка еквівалентна задачі трансмісії, доведено існування розв'язку. Запропоновано алгоритм побудови наближених розв'язків та доведено його збіжність.

Метод регуляризації варіаційних нерівностей за допомогою оператора штрафу узагальнено для класу варіаційних нерівностей з багатозначними відображеннями.

Доведено дві теореми, що дозволяють зводити питання про збіжність загальних характеристик варіаційних задач Діріхле в змінних областях до питання збіжності більш простих характеристик цих задач. Описано ситуацію, в якій має місце збіжність більш простих характеристик.

Метод побудови гамільтонова опису для невиродженої (регулярної) варіаційної задачі довільного порядку, запропонований М. В. Остроградським, узагальнено на випадок вироджених (сингулярних) лагранжіанів. Саме такі лагранжіани становлять найбільший інтерес для сучасної теорії елементарних частинок. Для спрощення формул розглянуто гамільтонізацію варіаційної задачі, заданої сингулярним лагранжіаном другого порядку. Рівняння руху в фазовому просторі виведено шляхом узагальнення методу М. В. Остроградського. Знайдено повний набір зв'язків у теорії.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.83

Рубрики:

Топологічні і функціонально-аналітичні методи

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.83,021

Рубрики:

Топологічні і функціонально-аналітичні методи

Шифр НБУВ: Р85354 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.8

Рубрики:

Варіаційне числення. Математична теорія керування

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розкрито суть понять функціонала, функціональної похідної. Наведено просторові та геодезичні задачі варіаційного числення. Визначено необхідну умову існування екстремуму функціонала, достатню умову мінімуму, умову трансверсальності, крайові умови. Розглянуто особливості інваріантності рівняння Ейлера - Лагранжа відносно перетворення координат, охарактеризовано екстремальні принципи у фізиці.

Раскрыта сущность понятий функционала, функциональной произвольной. Приведены пространственные и геодезические задачи вариационного счисления. Определены необходимое условие существования экстремума функционала, достаточное условие минимума, условие трансверсальности, предельные условия. Рассмотрены особенности инвариантности уравнения Эйлера - Лагранжа относительно преобразования координат, охарактеризованы экстремальные принципы в физике.

Проанализирован ретроспективный путь взаимного развития вариационного исчисления и вариационных принципов механики. Рассмотрены проблема обобщенных импульсов механической системы, условия инвариантности и функционалы качества систем автоматического регулирования, прямые методы в вариационном исчислении.

Висвітлено основи теорії варіаційного числення, запропоновано розв'язки класичних задач (задач Лагранжа, Больца, ізопериметричних задач тощо). Наведено основні положення теорії оптимального керування, що базується на принципі максимуму Понтрягіна, який узагальнює принцип невизначених множників Лагранжа. За принципом максимуму та методом динамічного програмування розв'язано задачі Майера, Лагранжа, Больца, серед яких, зокрема, задача про посадку космічного апарата на поверхню Місяця та запуск штучного супутника Землі. Принцип максимуму Понтрягіна застосовано для аналізу економічної моделі Леонтьєва.

Освещены основы теории вариационного исчисления, предложены решения классических задач (задач Лагранжа, Больца, изопериметрических задач). Приведены основные положения теории оптимального управления, в основу которой положен принцип максимума Понтрягина, который обобщает принцип неопреленных множителей Лагранжа. По принципу максимума и методу динамического программирования решены задачи Майера, Лагранжа, Больца, среди которых, в частности, задача о посадке космического аппарата на поверхность Луны и запуск искусственного спутника Земли. Принцип максимума применен для анализа економической модели Леонтьева.

Рассмотрены задачи со свободными границамм во многих областях естествознания, освещена их вариационная природа. Проанализированы нелинейные краевые задачи со свободной границей типа Бернулли, а также теплофизические задачи со свободной границей. Приведены результаты исследований методом интегральных функционалов с переменной областью интегрирования краевой задачи типа Стефана, построения минимизирующей последовательности методом Ритца в квазистационарной задаче типа Стефана.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.89

Рубрики:

Окремі задачі варіаційного числення

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено розв'язок задачі варіаційного числення за умов вопуклості інтегранта. Доведено теорему існування. Наведено приклад функції, що відповідає умовам теореми, однак не є вопуклою.

Розглянуто варіаційну задачу про псевдорозв'язки рівняння з вільною фазою правої частини у випадку ізометричного оператора в гільбертових просторах. Доведено збіжність методу простої ітерації, застосованого до рівняння Ейлера задачі. Встановлено, що поза точками галуження метод збігається зі швидкістю геометричної прогресії. Одержано апостеріорні оцінки швидкості збіжності.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.89

Рубрики:

Окремі задачі варіаційного числення

Шифр НБУВ: Ж26161 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Отмечено, что для вычисления первого интеграла по теореме Эмми Нетер требуется, чтобы уравнения Лагранжа допускали группу вариационных симметрий. Изучен случай, когда уравнения Лагранжа допускают гладкое семейство (не обязательно группу) вариационных симметрий.

Знайдено постановки та розв'язано екстремальні задачі теорії потенціалу, які є дуальними до варіаційної задачі Гаусса, але, на відміну від останньої, завжди розв'язні. Встановлено також твердження про компактність класів розв'язків та неперервність екстремалей.

Предложена альтернативная процедура последовательного исключения множителей Лагранжа. Процедура имеет более широкую область применения, чем классический подход (параллельное исключение). Она может быть применена для построения функционалов и нахождения экстремалей с дополнительными условиями или с дополнительными независимыми функциями.

Вперше запропоновано загальне означення усередненої варіаційної нерівності. Представлено загальну методику усереднення варіаційних нерівностей, яка базується на концепції варіаційної S-збіжності відповідних задач умовної мінімізації. Вперше для досить широкого класу абстрактних варіаційних нерівностей встановлено достатні умови його компактності відносно процедури S-усереднення, умови існування та єдності усередненої варіаційної нерівності, доведено відповідні терміни, а також для розглянутого класу варіаційних нерівностей ідентифіковано загальну структуру усередненої варіаційної нерівності, яка може збігатися з результатом покомпонентного усереднення вихідної варіаційної нерівності та суттєво відрізнятись від нього.

Розглянуто задачу топологічної класифікації функцій та динамічних систем на маловимірних многовидах. З застосуванням методів теорії розкладів та ручки Смейда побудовано повні топологічні інваріанти - розрізняючі графи, еквівалентність яких легко перевірити. Відзначено, що одержані результати дослідження повною мірою розв'язують проблему топологічної класифікації векторних полів Морса - Смейла та функцій Морса на замкнених тривимірних многовидах і на двовимірних і тривимірних многовидах з краєм (m-поля та m-функції) та більш загальних об'єктів: функцій з ізольованими критичними точками на замкнених поверхнях, функцій з трьома та чотирма критичними точками на тривимірних многовидах, замкнених L-форм Морса на замкнених поверхнях, відображень Уїтні замкненої поверхні на площину. Ефективність побудованих класифікацій продемонстровано на прикладах підрахувань числа топологічно нееквівалентних об'єктів з заданими властивостями. Доведено теорему про суму індексів потоку на стратифікованій множині.