Описывается проект "Алгоритм Очевидности'2000" как новый уровень понимания программы "Алгоритм Очевидности", инициированной В. Глушковым в начале 60-х годов. Этот проект ориентирован на подключение к международной математической деятельности по эффективному решению следующих задач: распределенное автоматизированное доказательство теорем, проверка корректности математических текстов, удаленное обучение математическим дисциплинам, извлечение знаний из математических работ, построение баз знаний для математических теорий.

Побудовано теорію збурень для повного кутового моменту електромагнітних полів у слабонапрямних оптичних волокнах. Встановлено структуру основних мод випромінення, пов'язаних з їхньою здатністю переносити кутовий момент, сформульовано і доведено теорему про момент імпульсу суперпозиції електромагнітних полів. В першому порядку теорії збурень побудовано гамільтоніан спін-орбітальної взаємодії, проведено порівняння з відомим квантово-механічним результатом.

Вивчено флуктуації в плазмі з урахуванням кулонівських зіткнень частинок. Парні кулонівські зіткнення описано в рамках кінетичного рівняння Ландау. За допомогою флуктуаційно-дисипативної теореми знайдено загальний вираз для кореляційної функції випадкових сил. Досліджено випадки слабких і сильних зіткнень. Кореляції у плазмі, в якій немає зіткнень, пов'язано з самоузгодженою електромагнітною взаємодією частинок плазми. Врахування парних кулонівських зіткнень частинок призводить до додаткової кореляції між випадковими силами у просторі швидкостей. Знайдено зв'язок між спектром флуктуацій у плазмі без зіткнень і гідродинамічними флуктуаціями. Показано, що зіткнення між частинками помітно впливають на колективне розсіяння електромагнітних хвиль.

Розглянуто ефективну дію Д'яконова - Петрова (ДП) у квантовій електродинаміці, що стосується інстантонної компоненти вакууму, та запропоновано поліпшену ефективну дію, отриману на основі результатів Лі - Бардіна для кваркового детермінанта в інстантонному полі. Поліпшена ефективна дія ( порівняно з дією ДП) забезпечує врахування дії кварків, що особливо суттєво для дивних кварків. Цю дію було успішно перевірено розрахунками кваркового конденсату, мас псевдоскалярного октету мезонів та аксіально-аномальними низькоенергетичними теоремами.

Розглянуто клас стохастичних процесів із напівмарковськими перемиканнями (або в напівмарковському середовищі). Доведено теореми типу принципу усереднення та дифузної апроксимації у випадку асимптотичного ергодичного середовища. Досліджено збіжність до розв'язку диференціального рівняння з марковським перемиканням або до дифузного процесу в марковському середовищі для випадку асимптотично збільшеного середовища. Розглянуто застосування до аналізу марковських та напівмарковських систем організації черг за умов інтенсивного трафіка.

Наведено огляд імовірнісних досліджень М. В. Остроградського (1801 - 1862рр.) під іншим кутом зору, ніж у статті Б. В. Гнєденка "О работах М. В. Остроградского по теории вероятностей" (1951р). Статистична техніка М.В. Остроградського, яка пов'язана з використанням теореми Байєса разом із принципом недостатньої обгрунтованості, є близькою до відповідної техніки Лапласа в його книзі "Theorie analytique des probabilites". М. В. Остроградський уточнює або модифікує деякі висновки Лапласа прикладної спрямованості. Більш вражаючі результати, що з'явилися до відповідних робіт Пуассона, стосуються вибірки за ознаками без повернення зі скінченної популяції та ймовірності помилки суду присяжних.

Наведено нове доведення інтегрального зображення узагальнених ядер Тепліца, яке базується на спектральній теорії відповідного диференціального оператора, що діє в гільбертовому просторі, побудованому за таким ядром. Одержано теорему про умови на ядро, які забезпечують самоспряженість цього оператора (тобто єдність міри в зображенні).

Збірник присвячено першій видатній роботі А.В.Скорохода - "Предельные теоремы для случайных процессов", в якій запропоновано метод одного ймовірнісного простору та введено кілька топологій у простір функцій без розривів другого роду. Доведено граничні теореми, що є глибоким узагальненням відомого принципу інваріантності Донскера.

Запропоновано схему в термінах теорії збурень за електронним переносом, яка грунтується на теоремі Віка для операторів Хаббарда. Діаграмні ряди містять одновузлові вершини, з'єднані лініями переносу. Показано, що для кожної вершини задача розпадається на підпростори з "вакуумними станами", які визначаються діагональними операторами Хаббарда, і дозволеними є тільки збудження відносно цих "вакуумних станів". Запропоновано правила побудови діаграм. У границі безмежної розмірності простору повна допоміжна одновузлова задача точно розпадається на підпростори, що дозволяє побудувати аналітичний термодинамічно самоузгоджений підхід для моделі Хаббарда. Наведено деякі аналітичні результати для простих наближень, коли отримуються 2-х і 4-х полюсні структури для функцій Гріна.

Розглянуто задачу теорії пружності для випадку, коли зв'язок між тензорами напруги та деформації Коші описується за допомогою лінійного інтегрального співвідношення. Доведено теореми про існування та єдиність розв'язку відповідних задач.

В роботі доводиться, що транзитивна дія локально компактної сепарабельної групи має кумедний ранг один. Цей факт раніше було доведено тільки для дій розв'язних груп. Теорему доводимо спочатку для дій груп Лі, а потім узагальнюємо з використанням апроксимації топологічних груп групами Лі. Як природний наслідок одержуємо, що з дискретного спектру витікає кумедний ранг один.

Для функціонально-диференціальних рівнянь з частинними похідними та імпульсною дією доведені теореми існування і єдиності розв'язків та їх неперервної залежності від правої частини.

Досліджено електрофізичні властивості електродних матеріалів, градуювання та верифікації засобів термометрії. Оцінено швидкодію число-імпульсних функціональних перетворень. Наведено динамічну модель функції перетворення пірометричних перетворювачів для іонно-плазмових установок за умов впливу промислових перешкод, а також математичну модель джерела квадратурних сигналів на основі рівнянь Ван-дер-Поля з урахуванням нелінійності. Запропоновано нову теорему електростатики. Розглянуто принцип побудови цифрового кусково-нелінійного гамма-коректора відеосигналу для підвищення ефективності перетворення телевізійних зображень. Охарактеризовано вплив крайового ефекту на точність вимірювання інтегральних характеристик електромережі.

Розглянуто застосування автоматичного доведення теорем як методологічної основи нечіткого ситуаційного пошуку рішень.

Доведено аналог теореми Джексона для коопуклого наближення неперервних періодичних функцій з другим модулем неперервності та константою, яка залежить від розташування точок зміни опуклості функції.

Розглянуто антагоністичні (матричні) ігри, платіжні матриці яких задаються з точністю до інтервалу. Знайдено необхідні і достатні умови існування розв'язку таких ігор. Показано, що основна теорема теорії фон Неймана для таких ігор недійсна. Запропоновано метод відшукування розв'язку інтервальної гри зведенням її до двох граничних точкових ігор.

Для субгармонічних функцій на площині з масами Рісса, що знаходяться в областях спеціальної форми, доведено апроксимаційні теореми, за допомогою яких вивчено поведінку ріссовських мас цих функцій у термінах багаточленних асимптотик.

Одержані теореми про характеризацію класів функцій, найкращі наближення яких алгебраїчними поліномами мають заданий порядок прямування до нуля. Побудовані наближення розв'язків операторно-диференціальних рівнянь за допомогою поліномів від оберненого оператора.

Наведено деякі результати щодо асимптотичного поводження одного класу додатних функціональних рядів. Розглянуто ряди, поводження яких повністю визначається одним членом, зокрема, з обмеженнями лише на показники, коефіцієнти та показники, коефіцієнти за слабких обмежень на показники. Наведено аналоги теореми Бореля.

Досліджено властивості розв'язків диференціальних включень у банаховому просторі. Доведено теорему існування глобального атрактора багатозначної напівдинамічної системи, що породжується цими розв'язками, й теорему про апроксимацію атрактора в метриці Хаусдорфа.