Сформульовано задачу про взаємодію сферичного тіла, що коливається за заданим законом із жорсткою циліндричною поверхнею, яку заповнено ідеальною стисливою рідиною. Геометричний центр сфери знаходиться на осі циліндра. Розв'язання грунтується на можливості зображення частинного розв'язку рівняння Гельмгольца, яке записане у циліндричних координатах за допомогою частинних розв'язків у сферичних координатах, та навпаки. У результаті задовільнення граничних умов на поверхнях сфери та циліндра отримано нескінченну систему лінійних алгебричних рівнянь для знаходження коефіцієнтів розкладу потенціалу швидкостей рідини в ряд Фур'є за поліномами Лежандра. Обгрунтовано застосування методу редукції до розв'язання отриманої нескінченної системи. Визначено гідродинамічні характеристики рідини, що заповнює циліндричний об'єм та приведено порівняння з випадком коливань сфери в безмежній рідині.

Сформульовано задачу про взаємодію сферичного тіла, яке коливається за заданим законом, з тонкою пружною циліндричною оболонкою, заповненою ідеальною стисливою рідиною. Геометричний центр сфери знаходиться на осі циліндра. Розв'язання задачі спирається на можливість зображення частинного розв'язку рівняння Гельмгольца, записане в циліндричних координатах, за допомогою частинних розв'язків у сферичних координатах, і навпаки. У результаті задовільнення граничних умов на поверхнях сфери й оболонки отримано нескінченну систему лінійних алгебричних рівнянь для визначення коефіцієнтів розкладу потенціалу швидкостей рідини в ряд Фур'є за поліномами Лежандра. Визначено гідродинамічні характеристики рідини, що заповнює циліндричний об'єм, зроблено порівняння з випадками коливань сфери в безмежній рідині та в жорсткій циліндричній посудині.

Розглянуто ортогональну ідентифікацію моделей Гаммерштейна на синусоїдальних сигналах та білому шумі з рівномірним розподілом значень. Для синусоїдальних сигналів оптимальною є модель Гаммерштейна - Чебишева, для рівномірного шуму - модель Гаммерштейна - Лежандра. Суміщення цих моделей дає можливість оцінити дефекти збігу класичних моделей Гаммерштейна по кожній з паралельних віток.

Обчислено суми поліпараметричних функціональних рядів, які виникають при розв'язуванні стаціонарних задач математичної фізики як однорідних так і неоднорідних (кусково-однорідних) середовищ, що перебувають під діянням стрибкоподібних навантажень. Загальні члени таких рядів є суперпозицією алгебраїчних функцій та власних функцій, породжених відповідною спектральною задачею Штурма-Ліувілля для деференціальних операторів Фур'є, Бесселя, Лежандра або гібридних диференціальних операторів, утворених можливим сполученням диференціальних операторів Фур'є, Бесселя, Лежандра на сегменті з одною та двома точками спряження.

Обчислено суми поліпараметричних функціональних рядів, які виникають під час розв'язування стаціонарних задач математичної фізики однорідних і неоднорідних (кусково-однорідних) середовищ, що перебувають під дією стрибкоподібних навантажень. Загальні члени даних рядів є суперпозицією алгебричних функцій, породжених відповідною спектральною задачею Штурма - Ліувілля для диференціальних операторів (ДО) Фур'є, Бесселя, Лежандра або гібридних ДО, утворених можливим сполученням ДО Фур'є, Бесселя, Лежандра на сегменті з одною та двома точками спряження.

Методами порівняння розв'язків, побудованих на полярній осі з точкою спряження для сепаратної системи диференціальних рівнянь Бесселя (з виродженням за другої похідної) та Лежандра, функцій Коші та гібридного інтегрального перетворення типу Конторовича - Лєбєдєва 1-го роду - Лежандра одержано зображення сім'ї невласних інтегралів від функцій Лежандра й Бесселя з комплексним значком.

У гільбертовому просторі побудовано інтерполяційні формули типу Лагранжа, що зберігають поліноми того ж степеня. Розглянуто випадок евклідового простору.

Запроваджено інтегральне перетворення Ганкеля із спектральним параметром; узагальнене гібридне інтегральне перетворення типу Фур'є-Лежандра на декартовій осі; гібридні інтегральні перетворення типу Канторовича-Лєбєдєва 1-го роду - Лежандра 2-го роду - Лежандра; скінченні гібридні інтегральні перетворення типу Фур'є - Канторовича-Лєбєдєва 2-го роду - Лежандра 2-го роду; тривимірні аналоги інтегральних перетворень Фур'є для (n+1) - шарового півпростору. Запропоновано ефективний метод розв'язання змішаних задач для однов'язної області з крайовими умовами 3-го роду, а також алгоритм побудови оптимальної траєкторії росту економіки. Одержано умови неперервності й розв'язності нескінченних алгебраїчних систем із степенево-різницевими індексами; необхідні і достатні умови прямування до нуля розв'язків крайових задач для лінійних параболічних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами з загаюваннями; зображення розв'язку інтегрального рівняння для сумісних щільностей розподілу ймовірностей стаціонарної марковської послідовності тощо.

На основі методу розкладу функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра викладено деякі співвідношення геометрично нелінійної теорії нетонких анізотропних оболонок змінної товщини. Побудовано систему рівнянь рівноваги й відповідні граничні умови.

Викладено спосіб побудови рівнянь рівноваги трансверсально-ізотропних п'єзокерамічних оболонок, поляризованих по товщині. В основу його покладено метод розкладу шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра. Відносно коефіцієнтів розкладу як функцій двох незалежних змінних складається відповідна система диференціальних рівнянь. Наводяться, зокрема, рівняння рівноваги трансверсально-ізотропної сферичної оболонки. Для випадку першого наближення викладено метод побудови загального розв'язку системи.

Розглянуто задачу про просторовий напружено-деформований стан нетонкої трансверсально-ізотропної пластини з криволінійним отвором, який мало відрізняється від кругового. Вважається, що пластина знаходиться під дією згинальних моментів на контурі отвору і на нескінченності. Для розв'язання задачі запропоновано підхід, який грунтується на спільному застосуванні двох відомих способів: методу розкладу компонентів переміщень і напружень в ряди Фур'є за поліномами Лежандра від координати товщини та методу збурення форми границі. Наведено відповідно рівняння і рекурентні співвідношення, необхідні для розв'язування задачі у довільному наближенні.

Використовуючи математичну теорію пластин, побудовану з використанням методу розкладання функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра, викладено метод знаходження загального розв'язку системи рівнянь рівноваги нетонких трансверсально-ізотропних пластин, що описують симетричний відносно серединної площини напружено-деформований стан.

Работа посвящена теории и применению обобщенных функций Лежандра. Впервые в литературе систематизированы многочисленные сведения об этих функциях, рассеянные по разным источникам. Получен ряд новых результатов, которые сформулированы в виде лемм, теорем или примеров. Представлены формулы дифференцирования и дифференциальные операторы, порождаемые обобщенным уравнением Лежандра, асимптотические формулы для обобщенных функций Лежандра в окрестностях особых точек, интегральные представления обобщенных функций Лежандра 1-го и 2-го рода. Показаны соотношения между обобщенными функциями Лежандра, функциями Бесселя, эллиптическими интегралами и неполной В-функцией, а также связь обобщенных функций Лежандра с функциями Якоби и др.

Обчислюються невласні інтеграли, що виникають при розв'язанні стаціонарних задач математичної фізики неоднорідних структур, дослідженні математичних моделей лінійних і нелінійних процесів та ін. Підінтегральні функції є суперпозицією алгебраїчних функцій, тригонометричних функцій, функцій Бесселя та функцій Лежандра і являють собою власні функції, породжені гібридними диференціальними операторами (всілякі сполучення диференціальних операторів другого порядку Фур'є, Бесселя та Лежандра на декартовій і полярній осі з точками спряження).

Розвинуто наближений аналітичний метод визначення напружено-деформованого стану нетонких трансверсально-ізотропних похилих сферичних оболонок з некруговими пружними включеннями або підкріпленими отворами як при ідеальному, так і при неідеальному контакті на границі поділу. В основу його покладено два випробуваних аналітичних методи - метод розкладу шуканих функцій в ряди Фур'є за поліномами Лежандра і другий варіант методу збурення форми границі.

Розглянуто апроксимації повторних стохастичних інтегралів Стратоновича за допомогою кратних рядів Фур'є за поліномами Лежандра. Отримано апроксимації стохастичних інтегралів кратності 1 - 5. Розглянуто середньоквадратичне сходження апроксимації повторних стохастичних інтегралів.

Запропоновано методику побудови тензорних ермітових сплайн-функцій, в якій базові поліноми Ерміта є безпосередньо пов'язані з крайовими умовами і геометричними характеристиками пружного тіла.

Для дослідження магнітного поля поблизу технічних об'єктів протяжної форми запропоновано застосування просторового гармонічного аналізу у видовженій сфероїдальній системі координат. Наведено порівняння основ гармонічного аналізу в сферичній і сфероїдальній системах. Одержано формули для побудови розрахункових алгоритмів значень приєднаних поліномів Лежандра другого роду. Показано можливість спільного використання сферичних і сфероїдальних гармонік на основі асимптотичних формул переходу.

Для пластин з регулярною системою паралельних тріщин досліджено зміну коефіцієнта інтенсивності напружень по товщині пластини. За базову обрано систему сингулярно збурених диференціальних рівнянь уточненої теорії пластин, яка враховує об'ємний розподіл напружень і переміщень. Ключові функції задовольняють двовимірні диференціальні рівняння, а формули відновлення параметрів напружено-деформованого стану подано у вигляді інтегро-диференціальних операторів від добутків ключових функцій на поліноми від координати, нормальної до серединної поверхні.

Розв'язано спектральну задачу Штурма - Ліувілля, породжену на сегменті з n точками спряження лінійним диференціальним рівнянням другого порядку з кусково-неперервними коефіцієнтами. Наведено основні теореми про дискретний спектр, дискретну функцію та теорему типу теореми Стєклова про розвинення вектор-функції в абсолютно та рівномірно збіжний ряд Фур'є за системою власних вектор-функцій. Побудовано скінченні гібридні інтегральні перетворення типу Ганкеля, Лежандра, Конторовича - Лебедєва, (Фур'є, Бесселя), (Фур'є, Лежандра), (Бесселя, Лежандра). На базі задач математичної фізики неоднорідних структур висвітлено логічну схему застосування. Доведено ефективність запроваджених скінченних гібридних інтегральних перетворень.