Розглянуто тридіагональні блочні якобієві ермітові матриці(ЯЕМ) з рівномірно зростаючими розмірами блоків. Досліджено самоспряженість операторів, породжених ними. Розв'язано пряму та обернену спектральні задачі для таких узагальнених ЯЕМ. Встановлено необхідні та достатні умови, які гарантують те, що матричнозначна міра є спектральною мірою узагальненої ЯЕМ. Показано, що рекурсія Сегьо є не що інше, як модифікація системи рівнянь для знаходження поліномів першого роду для тридіагональної блочної якобієвої унітарної матриці, яка є частковим випадком відповідної системи рівнянь для трьохдіагональної блочної якокобієвої нормальної матриці. Одержано нові достатні та необідні умови узагальненої самоспряженості операторів та їх лінійних збурень, які діють в гільбертових оснащеннях.

  Скачати повний текст

Для простого симетричного оператора S у просторі Понтрягіна доведено існування його самоспоряженого розширення з заданами регулярними точками. Одержано критерій рівномірної додатності (від'ємності) власних підпросторів самоспряженого розширення. Побудовано операторну модель для бідотичної інтерполяційної задачі Неванлінни - Піка в узагальнених класах Неванлінни та Стілтьєса у невиродженому та виродженому випадках. Установленно взаємно однозначну відповідність між множиною рішень задачі та множиною самоспряжених розширень модельного оператора. У випадку невиродженої матриці Піка одержано опис всіх її рішень. Для однобічної інтерполяційної проблеми одержано достатні умови відсутності виключних параметрів. Досліджено межову індефінітну інтерполяційну проблему Неванлінни - Піка. Для випадку невиродженої матриці Піка одержано опис усіх її розв'язків.

  Скачати повний текст

Досліджено набори проекторів, що задовольняють співвідношення Темперлі - Ліба та ортогональності. Система співвідношень Темперлі - Ліба та ортогональності алгебрично описує конфігурацію підпросторів у гільбертовому просторі з попарно фіксованими кутами між ними. Наведено опис різноманітних конфігурацій, а також породжених ними алгебр. Одержано результати про структуру афінних алгебр Темперлі - Ліба серії А.

  Скачати повний текст

Показано, що одержані результати застосовуються для вивчення спектральної структури скінченновимірних збурень вольтеррових операторів, дослідження спектральних задач, що пов'язані з канонічними системами диференціальних рівнянь.

  Скачати повний текст

Розроблено єдиний підхід для вивчення операторів, близьких до нормальних, за допомогою розкладання оператора на дійсну й уявну частини та полярного розкладання. Введено відповідні метричні вузли та їх визначальні функції, які є повними унітарними інваріантами належних вузлів. Побудовано сингулярні інтегральні моделі, доведено існування символів для них, одержано задачі Рімана - Гільберта, що зв'язують сильні межові значення визначальних функцій з характеристичними функціями. За допомогою визначальних та характеристичних функцій побудовано мозаїки та принципальні функції Пінкуса, а також вивчено їх зв'язки з символами та загальними символами. Одержано нові формули слідів, розроблено зв'язок принципальних функцій з індексом оператора T - zI, досліджено носії принципальних функцій. Побудовано функціональні моделі самоспряженого абсолютно неперервного сингулярного інтегрального оператора та деяких класів несамоспряжених операторів у вигляді множення на незалежну змінну. Введено поняття сингулярного метричного вузла та його характеристичної функції, на основі якого побудовано унітарну дилатацію еволюційного оператора, що відповідає диференціальному рівнянню зі змінним дисипативним оператором, вивчено відповідні хвильові оператори та оператор розсіяння.

  Скачати повний текст

Знайдено достатні умови рівномірної резольвентної апроксимації загальних квазідиференціальних операторів довільного порядку операторами того ж класу, зокрема, диференціальними. Одержано параметризацію всіх самоспряжених, максимальних дисипативних і максимальних акумулятивних розширень, а також узагальнених резольвент мінімального квазідиференціального оператора в симетричному випадку. Знайдено регуляризацію повного виразу Штурма - Ліувілля з сингулярними комплексними коефіцієнтами за допомогою квазіпохідмних Шина - Цеттла. Одержано достатні умови рівномірної резольвентної апроксимації регуляризованих операторів звичайними диференціальними. Одержано параметризацію всіх самоспряжених, максимальних дисипативних та максимальних акумулятивних розширень мінімального симетричного оператора Штурма - Ліувілля та його узагальмнених резольвент. Знайдено регуляризацію двочленного диференціального виразу високого порядку з сингулярним комплексним потенціалом за домпомогою квазіпохідних Шина - Цеттла і достатні умови рівномірної резольвентної апроксимації регуляризованих операторів. Встановлено параметризацію всіх самоспряжених, максимальних дисипативних та максимачьних акумулятивних розширень симетричного мінімального двочленного диференціального оператора та його узагальнених резольвент.

  Скачати повний текст

Дисертаційна робота присвячена дослідженню систем підпростомрів гільбертового простору. В ній досліджено класи систем одновимірних підпросторів гільбертового простору, зокрема, наведено повний опис з точністю до унітарної еквівалентності всіх незвідних симетричних систем одновимірних підпросторів. Для систем неодновимірних підпросторів гільбертового простору введено поняття мамтриці Грама системи підпросторів, за допомогою якої досліджено властивості функторів Кокстера та, як наслідок, системи підпросторів, які отримуються із систем одновимірних підпросторів за дії на них функторами Кокстера. Досліджено системи підпросторів, що мають алгебричне походження Ч системи, які одержуємо із лінійних зображень частково впорядкованих множин скінченного типу шляхом унітаризації. Доведено, що всі нерозкладні зображення частково впорядкованих множин скінченного типу унітаризуються з яким-небудь характером, причому для примітивних частково впорядкованих множин описано множини всіх характерів, з якими унітаризується нерозкладне зображення частково впорядкованої множини.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено дослідженню прямих і обернених апроксимаційних задач.

  Скачати повний текст

Для нещільно визначених симетричних операторів у просторах Крейна одержано опис різних класів узагальнених резольвент. Досліджено множину самоспряжених розширень симетричного оператора, енергетична форма якого має скінченне число від'ємних квадратів, зокрема, його екстремальні розширення (Фрідріхса та Крейна-фон-Неймана) охарактеризовано у термінах функції Вейля. Одержано параметризацію узагальнених резольвент операторів із скінченним числом від'ємних квадратів, істотну роль у даному випадку відіграють нові узагальнені класи функцій Стілт'єса. Розроблено аналог теорії зображень симетричних операторів у просторах Крейна з власним і невласним масштабним підпростором. Зазначено, що дані результати застосовані до повної та зрізаної проблем моментів в узагальнених класах Неванліни та Стілт'єна, абстрактної та інтерполяційної проблеми Шура - Неванліни - Піка в узагальнених класах Шура.

  Скачати повний текст

У дисертації для операторів із дискретним спектром встановлено ізоморфізм між просторами кореневих векторів і векторів експоненціального типу. Побудовано функціональне числення в інтерполяційних класах символів для повних операторів із дискретним спектром, зокрема, для генераторів аналітичних півгруп. Наведено застосування до теорії еліптичних диференціальних операторів.

  Скачати повний текст

Введено поняття підпростору типу К та на прикладі задачі Шура розроблено метод конструктивного розв'язку виродженої матричної інтерполяційної задачі. Запропоновано новий метод дослідження матричної інтерполяційної задачі Шура, що грунтується на синтезі теорії J-розтягальних матриць-функцій В.П.Потапова та теорії характеристичних функцій М.С.Лівшиця, Б.С.-Надя і Ч.Фояша. Доведено, що ранги правого радіуса та нормованого лівого радіуса межового круга Вейля у задачі Шура дорівнюють кратностям максимальних зсуву та козсуву відповідного цілком неунітарного стиску. Одержано факторизацію радіусів цього круга у невиродженій матричній задачі Шура й описано структуру множників, які названо дефектними функціями. Запропоновано поняття регулярного розширення шурівської матриці-функції та одержано опис усіх регулярних розширень у термінах зсува та козсува, які породжуються відповідним цілком неунітарним стиском, та показано, що найбільші регулярні розширення відповідають дефектним функціям.

  Скачати повний текст

Встановлено необхідні та достатні умови існування сингулярно збурених нормальних операторів і одержано повний опис сингулярно збурених рангу один нормальних операторів на основі введеного поняття допустимого вектора та шкали гільбертових просторів. Виконано конструктивну побудову сингулярно збуреного нормального оператора з заданими власними векторами та власними значеннями. Подано умови істотної нормальності переднормальних звужень нормального оператора.

  Скачати повний текст

Досліджено спектральні властивості двох спеціальних класів несамоспряжених диференціальних операторів. Для сингулярних диференціальних операторів другого порядку з індефінітною вагою основну увагу приділено питанню подібності даних операторів до самоспряженого або нормального оператора.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено прямим та оберненим спектральним задачам для самоспряжених скінченнорізницевих операторів другого та четвертого порядків. Розв'язано обернену задачу спектрального аналізу про відновлення матриці за її спектральною функцією для скінченних і напівскінченних п'ятидіагональних симетричних матриць. Доведено, що будь-яка монотонна матричнозначна функція другого порядку, в якої існують усі моменти - спектральна для окремої можливо виродженої п'ятидіагональної матриці. Знайдено необхідні та достатні умови, яким повинна відповідати спектральна матриця-функція з метою невиродження відповідної п'ятидіагональної матриці. Введено новий тип спектральних даних для якобієвих матриць з обмеженими елементами, у яких дворазовий спектр відокремлений від одноразового та містить сегмент дворазового абсолютно неперервного спектра. Отримано інтегральне рівняння, що дозволило відновити матрицю за одержаними даними. За допомогою даного рівняння розв'язано задачу Коші для ланцюжка Тоди з початковими даними, що не стабілізуються.

  Скачати повний текст

Розв'язано та досліджено задачі поліноміального операторного інтерполювання Ерміта й Ерміта - Біркхофа в абстрактному гільбертовому просторі. Запропоновано множину операторних поліномів достатньо простої структури, на якій розглянуто побудову нових інтерполянтів, що за певним вибором інтерполяційних умов мають властивості єдиності на цій множині й асимптотичної (у аспекті зростання розмірності підпростору, на якому визначено інтерполяційні умови) точності на поліномах відповідного степеня. Знайдено умови Ерміта й Ерміта - Біркхофа, які забезпечують виконання даних властивостей. Для диференційованого за Гато оператора на вибраній множині конструктивно побудовано відповідні інтерполяційні формули Ерміта та Ерміта - Біркхофа, асимптотично точні на поліномах.

  Скачати повний текст

Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних підрозділів операторів Шредінгера зі сингулярними потенціалами на некомпактних зіркових графах. Одержано асимптотику коефіцієнтів розсіяння на сингулярних потенціалах, що локалізуються у вершинах графа. Як у випадку прямої, так і у випадку графів виявлено явище резонансу для межової поведінки спектра та коефіцієнтів розсіяння.

  Скачати повний текст

Установлено умови неперервності операторів композиції на гільбертових просторах аналітичних функцій цього простору. Описано спектр самоспряжених і нормальних операторів композиції на гільбертових просторах аналітичних функцій. Доведено гіперциклічність оператора зсуву на даному просторі цілих функцій від нескінченної кількості змінних. Побудовано нові класи гіперциклічних операторів на просторах аналітичних функцій від багатьох комплексних змінних.

  Скачати повний текст

Проведено дослідження спектральних задач на класах 1-періодичних узагальних функцій. Вивчено спектри операторів, породжених на скінченному інтервалі несамоспряженими двочленними диференціальними виразами довільного парного порядку з потенціалом, який є 1-періодичною узагальненою функцією, та (пів)періодичними граничними умовами. З використанням методу ізоспектральної трансформації знайдено рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій неасимптотичні (ефективні) й асимптотичні оцінки власних значень. Відзначено високий порядок, сильну сингулярність і несиметричність збурення у сукупності з нелокальними граничними умовами як специфічні особливості дослідження спектральних задач на класах 1-періодичних узагальнених функцій. Результати наукового дослідження використано у процесі вивчення спектральних властивостей одновимірного періодичного самоспряженого оператора Шреддінгера. Знайдено рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій асимптотичні оцінки кінців, середин і довжин лакун неперервного спектра. Встановлено кількісну відповідність між гладкістю потенціалу та швидкістю спадання (зростання) довжин лакун як аналогів відомих формул В.О.Марченка у випадку гладкого потенціалу.

  Скачати повний текст

Наведено метод оберненої спектральної задачі, який адаптовано до інтегрування диференціально-різницевих ланцюжків, породжених рівнянням Лакса, пов'язаних з унітарними та нормальним операторами. Запропоновано та деталізовано метод дослідження неізоспектральних ланцюжків (на відміну від класичного ізоспектрального випадку), породжених рівнянням Лакса, пов'язаним з самоспряженими й унітарними операторами. Розроблено метод дослідження неізоспектральних диференціально-різницевих потоків коефіцієнтів Верблунського як частинного випадку ланцюжків, породжених унітарними операторами у межах запропонованого методу. Класифіковано ланцюжки, що пропускають інтегрування, та наведено нові приклади з його застосуванням.

  Скачати повний текст

Знайдено необхідні та достатні умови, за яких ці алгебри попарно рівні. Розглянуто односторонні та двосторонні збіжності за мірою, майже скрізь, локально за мірою, локально майже скрізь і порядкові збіжності послідовностей і сіток операторів з S (M) і LS(M), а також описано співвідношення між ними. Установлено ряд аналогів домінантної ергодичної теореми для послідовностей абсолютних стисків симетричних просторів вимірних функцій на півосі, у яких виконуються різі типи ергодичних нерівностей. Досліджено сильне комутування самоспряжених вимірних і локально вимірних операторів та незображувальність в алгебрах S(M) і LS(M) канонічних комутаційних співвідношень.

  Скачати повний текст