Вивчено асимптотичну поведінку власних значень та власних підрозділів операторів Шредінгера зі сингулярними потенціалами на некомпактних зіркових графах. Одержано асимптотику коефіцієнтів розсіяння на сингулярних потенціалах, що локалізуються у вершинах графа. Як у випадку прямої, так і у випадку графів виявлено явище резонансу для межової поведінки спектра та коефіцієнтів розсіяння.

  Скачати повний текст

Розглянуто питання поведінки власних значень та власних функцій задачі Діріхле для лінійних рівнянь другого та високого порядків і нелінійного рівняння другого порядку в послідовності перфорованих областей з неперіодичною структурою. Вивчено характер збіжності власних функцій задачі Діріхле для лінійного рівняння другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею до відповідних власних функцій граничної задачі. Досліджено збіжність власних значень і власних функцій задачі Діріхле для лінійного рівняння високого порядку в послідовності перфорованих областей загальної структури до відповідних власних значень і власних функцій усередненої задачі з мірою. Висвітлено проблему усереднення задачі Діріхле на власні значення для нелінійних рівнянь другого порядку в послідовності областей з дрібнозернистою межею.

  Скачати повний текст

Досліджено три сингулярно збурені спектральні крайові задачі теорії сильно неоднорідних середовищ для диференціальних операторів четвертого порядку. Показано, що характерною особливістю перших двох задач є збурення коефіцієнтів диференціального оператора в околі одновимірного многовида. Вивчено асимптотичну поведінку спектра коливних систем з локальними збуреннями густини та жорсткості. На дійсній осі встановлено інтервали зміни величини m з якісно однаковою межовою поведінкою спектру. Для кожного інтервалу одержано явні формули для знаходження членів асмптотичних розвинень власних значень та власних функцій, а також оцінки для залишкових членів.

  Скачати повний текст

Проведено дослідження задач на власні значення для диференціальних і квазідиференціальних рівнянь з узагальненими похідними функцій обмеженої варіації (мірами) у коефіцієнтах. Одержано асимптотику для великих значень параметра фундаментальної системи розв'язків диференціальних і квазідиференціальних рівнянь, з використанням якої досліджено асимптотичну поведінку власних значень та функцій крайових задач. Побудовано спряжені крайові умови та функцію Гріна у випадку диференціальних і квазідиференціальних опрераторів, досліджено її властивості. Знайдено умови перетворення функцій у ряди за власними функціями крайових задач. Одержані результати рекомендовано використовувати для розв'язання прикладних задач механіки.

  Скачати повний текст