В геометрической теории функций комплексного переменного хорошо известны задачи об экстремальном разбиении со свободными полюсами на окружности. Одной из таких задач является задача о максимуме функционала I_n(gamma) = r^gamma(B₀, 0) П from k=1 to n r(B_k, a_k), где gamma є (0,n ], B₀, B₁, B₂,..., B_n, n >>= 2, - попарно непересекающиеся области в C^-, a₀ = 0, |a_k| = 1, k = 1, n^- различные точки окружности, r(B, a) - внутренний радиус области B c C^-, относительно точки a є B. В работе рассмотрена более общая задача, в которой ограничение |a_k| = 1, k = 1, n^- заменено на более общее условие.Рассмотрена одна известная открытая проблема о максимуме следующего функционала <$Er sup gamma (B sub 0 ,~0)~symbol <181> from k=1 to n ~r~(B sub k ,~a sub k )>, где <$EB sub 0 ,...~,~B sub n ,~n~symbol У~2>, - взаимно непересекающиеся области в <$E{ roman bold C} Bar ,~a sub 0 ~=~0>, <$E|a sub k |~=~1,~k~=~{1,~n} Bar> и <$Egamma~symbol <174>~(0,~n]> (r(B, a) - внутренний радиус области <$EB~symbol <172>~{ roman bold C} Bar> относительно а). При всех значениях параметра <$Egamma~symbol <174>~(0,~n]> нужно показать, что максимум достигается для конфигурации из областей <$EB sub k> и точек <$Ea sub k ,~k~=~{0,~n} Bar>, обладающей n-кратной симметрией. При <$Egamma~=~1> проблему доказал В. Н. Дубинин, для <$E0~<<~gamma~<<~1> - Г. В. Кузьмина. Л. В. Ковальов [4] получил ее решение для <$En~symbol У~5> при дополнительном ограничении, что углы между соседними отрезками <$E[0,~a sub k ]> не превышают <$E2 pi "/" sqrt gamma>. В частности, в данной работе эта проблема решается при n = 2 и <$Egamma~symbol <174>~(1,~2]>.Изучены задачи об экстремальном разбиении комплексной плоскости со свободными полюсами расположенными на (n, m)-лучевой системе точек. Предложен метод, который позволил получить новые оценки сверху для максимума произведений внутренних радиусов непересекающихся областей.

  Повний текст PDF - 379.738 Kb    Зміст випуску     Цитування публікації

  Якщо, ви не знайшли інформацію про автора(ів) публікації, маєте бажання виправити або відобразити більш докладну інформацію про науковців України запрошуємо заповнити "Анкету науковця"