Запропоновано аналітичний метод розв'язання загального диференціального рівняння Матьє в канонічній формі. Метод базується на відповідному точному розв'язку, який знайдено для довільних числових параметрів вихідного рівняння a і q. Своєю чергою, точний розв'язок виражено через фундаментальні функції, які є рядами по степенях параметрів a і q зі змінними коефіцієнтами. Наряду з рівнянням Матьє, розглянуто рівносильну йому систему диференціальних рівнянь. Показано, що матриця Вронського, яка утворена з фундаментальних функцій рівняння, є матрицантом системи. Тим самим доведено, що фундаментальні функції рівняння Матьє задовольняють наперед заданим умовам у нульовій точці. З метою розв'язання проблеми числової реалізації знайдених точних формул, фундаментальні функції надано степеневими рядами. Для обчислення коефіцієнтів степеневих рядів виведено відповідні рекурентні співвідношення. У результаті досліджень одержано остаточні аналітичні формули для обчислення характеристичного показника v, визначення якого є центральною частиною будь-якої задачі, математичною моделлю якої є рівняння Матьє. Фактично встановлено пряму аналітичну залежність v від вихідних параметрів рівняння a, q. Це особливо важливо, оскільки параметр v відіграє роль індикатора таких властивостей розв'язків рівняння Матьє, як обмеженість і періодичність. Запропонований аналітичний метод є реальною альтернативою застосуванню наближених методів у ході розв'язання будь-яких задач, що зводяться до рівняння Матьє. Наявність остаточних аналітичних формул надаватиме можливість у подальшому уникати процедури пошуку розв'язків рівняння. Натомість, для розв'язання задачі у кожному конкретному випадку, достатньо лише числово реалізувати отримані аналітичні формули.

  Повний текст PDF - 177.426 Kb    Зміст випуску     Цитування публікації

  Якщо, ви не знайшли інформацію про автора(ів) публікації, маєте бажання виправити або відобразити більш докладну інформацію про науковців України запрошуємо заповнити "Анкету науковця"