Оскільки будь-яка сумовна <$E2 pi>-періодична функція розвивається в ряд Фур'є, то найбільш зручним апаратом наближення таких функцій є послідовності частинних сум цього ряду і послідовності лінійних операторів, що визначаються деякою трикутною матрицею <$ELAMBDA>. Ця матриця задає метод побудови поліномів і визначає конкретний метод підсумовування рядів Фур'є. Одним з них є регулярний метод, який називається сумами Зігмунда. Суми Зігмунда були введені А. Зігмундом в 1945 р. Він же довів деякі твердження, які встановлювали точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень цих сум на класах r-диференційовних функцій для дробових r. Дослідження Зігмунда були продовжені Б. Надем, С. А. Теляковським, А. В. Єфимовим, О. І. Степанцем, Д. М. Бушевим та ін. Одержано точні порядкові оцінки верхніх граней відхилень сум Зігмунда від нескінченно-диференційовних функцій в інтегральній метриці. Нехай N - деякий клас сумовних <$E2 pi>-періодичних функцій. Тоді, якщо для f(x) існує (<$Epsi sup . ;~beta>)-похідна (в розумінні Степанця) і ця похідна належить класу N, то такі функції f(x) об'єднують в окремий клас L(<$Epsi sup . ;~beta>)N, що характеризується (<$Epsi sup . ;~beta>) диференціальними властивостями самої функції і умовами, накладеними на її (<$Epsi sup . ;~beta>) похідну. У роботі класи L(<$Epsi sup . ;~beta>)N складаються з функцій, ряди Фур'є яких збігаються до нескінченно-диференційовних функцій, а їх (<$Epsi sup . ;~beta>)-похідні в інтегральній метриці належать одиничній кулі. Основним результатом роботи є наступне твердження. Теорема. Якщо дана функція f(t, n, r) - рівномірно обмежена, а функції f(x) належать згаданому класу L(<$Epsi sup . ;~beta>)N, то для довільних <$En~symbol <174>~N>, для верхніх граней відхилень сум Зігмунда від функцій з класу L(<$Epsi sup . ;~beta>)N справедливі точні порядкові оцінки, де порядок визначається степенем - r методу Зігмунда. Із допоміжних тверджень доводиться 2 леми і для того, щоб показати непокращуваність порядкової оцінки будується екстремальна функція <$Eg(x)~symbol <174>~L( psi sup . ;~beta>)N.

  Повний текст PDF - 326.906 Kb    Зміст випуску     Цитування публікації

  Якщо, ви не знайшли інформацію про автора(ів) публікації, маєте бажання виправити або відобразити більш докладну інформацію про науковців України запрошуємо заповнити "Анкету науковця"