Аппроксимационные проблемы, появляющиеся при постановке физических и технических задач, в процессе их развития оказываются весьма многосторонними и часто не похожими на те задачи, которые до сих пор обычно рассматривались в теории. При этом они часто столь интересны и глубоки с точки зрения математики, что появляется исключительно богатое поле деятельности для математического исследования. Очень часто студенты, дипломанты и аспиранты обращались к нам за темами по теории приближения, которые одновременно имели бы практическое значение, а поскольку о таких темах известно сравнительно мало, то эта книга является попыткой несколько восполнить пробел между теорией и приложениями. Так как среди приложений различных способов приближения чебышевские приближения по значению, по-видимому, далеко превосходят. Другие виды приближения, то эта книга посвящена в основном чебышевским приближениям — как их теории, так и приложениям. Связующим звеном между теорией и приложениями служат также различные задачи и упражнения в конце книги.

Излагаются основные свойства ортогональных многочленов по двум действительным переменным и свойства рядов Фурье по этим многочленам. Рассматриваются различные двумерные аналоги и обобщения классических ортогональных многочленов одного переменного, являющиеся собственными функциями линейных дифференциальных операторов в частных производных второго порядка. Приводятся известные классические результаты, а также новые свойства ортогональных многочленов двух переменных, полученные в последнее время. Для научных работников, преподавателей, аспирантов и студентов старших курсов, специализирующихся по математическому анализу, вычислительной и прикладной математике.

В книге излагаются свойства ортогональных многочленов Чебышева, Лежандра, Чебышева-Эрмита, Чебышева-Лагерра и общих многочленов Якоби. С доказательствами приводятся асимптотические формулы для этих многочленов и теоремы о разложении функций в ряды Фурье по ним. Рассмотрены применения этих многочленов в вычислительной математике, в математической физике и в некоторых технических науках. Для студентов, аспирантов, научных работников и инженеров, специализирующихся в различных областях математики, физики и инженерных наук.

Монография посвящена тем свойствам ортогональных многочленов, от которых зависит сходимость бесконечных процессов, связанных с ортогональными многочленами, — процесса Фурье — Чебышева, интерполяционного процесса с узлами в корнях ортогональных многочленов и т. п. В монографии систематически изложены исследования ученых (отечественных и зарубежных) в этом направлении, в том числе исследования автора. Монография может быть полезна научным сотрудникам и аспирантам, работающим в области математики и математической физики.

Построена теория классических ортогональных полиномов дискретной переменной на некоторых классах неравномерных сеток. Рассмотрены тесные связи между этими полиномами и представлениями трехмерной группы вращений.

В брошюре рассказывается о теории классических ортогональных полиномов и их обобщения на случай дискретной переменной. Используя достаточно простые средства (приведение дифференциального уравнения к стандартному виду, формула Родрига и связанное с ней интегральное представление, соотношение ортогональности) авторы последовательно с одной позиции излагают теорию простейшего класса специальных функций. В заключение даются примеры некоторых приложений ортогональных полиномов. Выпуск расчитан на лекторов, слушателей и преподавателей народных университетов.

Хорошо известна та роль, которую играют ортогональные системы функций при решении ряда задач математической физики; после простейшей ортогональной системы функций – тригонометрической – наиболее простыми являются системы ортогональных многочленов; именно благодаря этому они находят обширное поле применений в ряде вопросов прикладной математики, физики, математической статистики и не перестают привлекать к себе внимание математиков и физиков всего мира.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук