Вводиться новий підхід до автоматизації практичної математичної діяльності. Пропонується розробка математичного інформаційного середовища (бази знань) для маніпулювання інформацією, що представлена за допомогою формалізованої математичної мови, близької до природньої.

Делается попытка свести воедино основное из того, что известно математикам о процессе математического творчества. Информируется о творчестве вообще, о том, как правильно учиться математике, о памяти и ее правильном использовании, о том, как решать математические задачи, о психологии "догадок" и "открытий" в математике, о соотношении "теоретического" и "художественного" в процессе обучения и воспитания, об общих процессах мышления, приводящих к математическим открытиям. Излагается сегодняшнее понимание математики психологии собственного научного творчества, особенности опыта, обобщения, специализации, индукции и аналогии в математическом исследовании и др.

Рассмотрена сущность понятий абстракции и идеализации в науке как предмет математики. Раскрыты природа диалектики, а также содержание понятий счетного и несчетного множества, высказывания, логических тождеств и реального мира, отражения, кванторов, математической индукции и логики. Проанализированы отношения эквивалентности и порядка.

Розглянуто особливості кодифікації кальок в українській математичній термінології доби українізації. Калькування як спосіб термінотворення відповідало прихильному ставленню до вмотивованих одиниць і педагогічному принципові нормування термінології. Більшість кодифікованих кальок мають за прототипи греко-латинські інтернаціоналізми чи побудовані за взірцем "спільних" європейських кальок. Добір рекомендованих словотвірних кальок відбувався з урахуванням вимог точності, системності терміна та його мовної правильності.

На основі застосування засобів математичного моделювання запропоновано нову багаторівневу стратегію дослідження складних багатокомпонентних систем за допомогою засобів математичного моделювання, засновану на синтезі можливостей методів багатовимірного аналізу та сучасних комп'ютерних способів візуального представлення багатовимірних масивів даних. Теоретично обгрунтовано концепцію побудови узагальнених інтегральних характеристик у процесі моделювання складних систем. Запропоновано алгоритм утворення багатовимірних інтегральних показників техногенного забруднення багатокомпонентних екосистем. Розроблено новий апарат якісного дослідження складних динамічних багатокомпонентних математичних моделей на базі аналізу поводження рішень систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь. Зазначено, що даний апарат істотно спрощує аналіз великих масивів модельних даних за рахунок проектування (візуалізації) їх структури на площину узагальнених факторів без втрати інформації. Розроблено комп'ютерні програмні засоби для реалізації багаторівневої стратегії візуалізації багатовимірних даних (натурних та модельних) з можливостями візуального аналізу та прогнозування розвитку складної екологічної ситуації (зокрема, засіб для створення та корекції спеціальних екологічних карт просторових кореляцій та ризиків проживання).

Проаналізовано взаємозв'язок першої та другої проблем Гільберта як двох нерозв'язних математичних проблем, що свідчать про кризу методології класичної науки. Досліджено структуру континуума, а також проблеми нескінченності та істини в математиці. Встановлено різнобічний взаємозв'язок першої та другої проблем Гільберта, що виявляється в декількох аспектах. З'ясовано, що проявом логічного зв'язку даних проблем є зв'язок на рівні проблеми доказу несуперечності арифметики натуральних і дійсних чисел і, як реальний приклад справедливості теорем Геделя про неповноту формалізованих систем, внаслідок яких виявилася нерозв'язаною друга проблема, а перша своєю нерозв'язаністю продемонструвала реальність існування нерозв'язаних тверджень у математиці. Доведено, що зв'язок першої та другої проблем Гільберта полягає в тому, що обидві вони свідчать про кризу методології класичної математики і вимагають введення більш гнучких некласичних і постнекласичних методологічних підходів, зокрема відмовлення від концепції абсолютної істини на користь теорії плюралізму та введення принципу доповняльності.

Висвітлено теоретичне вчення видатного французького математика та філософа XX ст. А. Бадью про побудову концепту моделі. Розкрито сутність поняття "модель", досліджено особливості використання даної категорії у математичному експериментуванні. Проаналізовано взаємозв'язок наукового концепту моделі та неопозитивістської доктрини науки. Наведено опис понятійного апарата предикатної системи (ПС), розглянуто теореми дедукції та повноти, лему Лінденбаума, обгрунтовано відносну несуперечливість деяких розширень ПС. Розглянуто наукові праці А. Бадью про інфінітезимальне потрясіння, нуль, символ, нестачу та відновлення діалектичного матеріалізму (Альтюсер).

Освещено теоретическое учение выдающегося французкого математика и философа XX ст. А. Бадью о построении концепта модели. Раскрыта сущность понятия "модель", исследованы особенности использования данной категории в математическом экспериментировании. Проанализирована взаимосвязь научного концепта модели и неопозитивистской доктрины науки. Дано описание понятийного аппарата предикатной системы (ПС), рассмотрены теоремы дедукции и полноты, лема Линденбаума, обоснована относительное непротиворечие некоторых расширений ПС. Рассмотрены научные труды А. Бадью об инфинитезимальном потрясении, нуле, символе, недостаче и обновлении диалектического материализма (Альтюсер).

Досліджено зв'язок онтології та математики як загального та конкретного. Обгрунтовано концепцію математичної онтології, в основу якої покладено тезу про взаємний вплив філософії, математики та природничо-наукових досліджень. Розкрито характер чотирьох парадигм математичної онтології, в яких виявлено фактори, що обумовлюють ідеали та норми постановки математичних проблем та їх рішення. Встановлено, що основи трактування онтологічного статусу математичних сутностей виникають на перетині онто- та гносеологічних уявлень; залежать від виробленого змісту філософських категорій, характерного для античності та раціоналізму Нового часу, природничо-наукових ідей, а також причин внутрішнього розвитку математичних теорій, що розкриваються у методологічних установках XIX та XX ст.

В. И. Вернадский рассматривает математику как одну из главных составляющих частей введенного им понятия "остов науки", как генетический исток его создания. Математика через логику связывает остов науки в единое целое. Это определяет исключительную роль математики в науке.

Досліджено проблему введення математичної термінології на початковому етапі вивчення математики іноземними студентами та розглянуто методику введення математичної термінології на прикладі вивчення студентами-іноземцями звичайних дробів.

Розглянуто проблему створення англо-російсько-українського словника математичних термінів. Проведено лінгвістичний аналіз українських математичних термінів, який виявив певні специфічні риси української терміносистеми, які полягають у схожості та розбіжності деяких словотворчих моделей трьох порівнюваних мов.

Розглянуто основні поняття загальної теорії методів пізнання; аспекти з еволюції системи наукових знань, загальнологічні закони. Описано особливості сучасних наукових досліджень, в яких домінуюча роль відводиться математичному моделюванню та прикладній математики. Розглянуто науку як метод пізнання. Описано систему наукових знань. Розглянуто метод математики та методологію наукового пізнання. Визначено перспективи розвитку світової науки. Виявлено чинники еволюції системи математичних знань: числа та геометричні фігури, множини та простори. Висвітлено розвиток фундаментальних математичних понять. Описано процеси моделювання та алгоритмізації в наукових дослідженнях.

Вивчено генеалогію основних розділів математики: алгебра, геометрія, математичний аналіз, комплексний аналіз, варіаційне числення, диференціальні рівняння тощо. Викладено основні математичні поняття та конструктиви: функція, рівняння, границя, неперервність, похідна, диференціал, інтеграл тощо. Наведено хронологію найважливіших подій в області математики. Подано історичні довідки, факти і коментарі.

Розглянуто спільну семантичну вмотивованість українських і німецьких математичних термінів першої третини XX ст. Досліджено особливості зміни значення та сполучуваності загальновживаної лексики внаслідок термінологізації. Окреслено проблему виявлення семантичних кальок і запозичень в українській математичній термінології означеного періоду.

Розглянуто історичні аспекти розвитку української мови та словникової роботи в Україні, питання математичної термінології протягом останнього сторіччя. Подано приклади поширених математичних фразеологізмів і термінів. Визначено головну мету термінологів і лексикографів - нормалізацію національної термінології, уникнення надміру великої кількості іншомовних елементів.

В аспекті формування світогляду студентів розглянуто деякі філософські питання, які пов'язані з математичною нескінченністю.

Розглянуто основні моменти, які визначають нові шляхи розвитку сучасної математики.

Проаналізовано соціокультурні умови та суспільно-політичні чинники, що протягом століття формували громадське ставлення до математичної діяльності та визначали рівень розвитку математичної культури в суспільстві.

Рассмотрены вопросы линейной и векторной алгебры, теории матриц, аналитической геометрии, теории пределов, дифференциального и интегрального исчисления, дифференциальных уравнений, числовых рядов. Наряду с традиционной методологией решения задач высшей математики приведены алгоритмы и программы решения задач с применением универсальной системы компьютерной алгебры Maxima. Дана информация о кривых и поверхностях второго порядка, свойствах бесконечно малых и бесконечно больших функций, основных правилах дифференцирования функций. Уделено внимание вычислению неопределенных и несобственных интегралов, разложению функции в ряд Тейлора в среде Maxima.

Освещены некоторые вопросы методологии математики, ее роли и места в гуманитарной сфере. Раскрыты основные два вопроса: предмет математики; роль математики в гуманитарных науках.