Показано, що логарифмічна спіраль є екстремальною в задачі обертання Ф. Джона для плоских біліпшіцових відображень. Вивчено проблему факторизації спіралеподібних відображень на композицію гомеоморфізмів з меншим геометричним спотворенням. Доведено просторовий аналог теореми Фрідмана і Хе.

Розглянуто проблему локальної конформності, яка асоційована з квазірегулярними відображеннями у просторі. Доведено гіпотезу щодо конформної диференційованості для квазіконформних обертань у просторі.

Введено поняття повного обертання просторової кривої, яке застосовується для оцінки обертання радіальних сегментів за квазіконформних відображень у просторі. Оцінки записано в термінах інтегральних середніх локальних дилатаційних коефіцієнтів.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.11

Рубрики:

Теорія потенціалу

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Вивчено задачу Діріхле для вироджених рівнянь Бельтрамі в довільних скінченнозв'язних областях. У термінах дотичних дилатацій сформульовано цілий ряд критеріїв існування регулярних розв'язків цієї проблеми в довільних обмежених однозв'язних областях, а також псевдорегулярних і багатозначних розв'язків у довільних обмежених скінченнозв'язних областях без вироджених граничних компонентів.

Розглянуто узагальнення рівняння Бібербаха з нелінійними правими частинами, які надають можливість вивчати багато проблем математичної фізики в неоднорідних та анізотропних середовищах з гладкими характеристиками. Встановлено взаємозв'язки цих напівлінійних рівнянь з квазіконформними відображеннями та на цій підставі одержано ряд теорем існування їх розв'язків, що вибухають на межі одиничного круга, проколотих одиничних кіл і кільцях, та наведено їх явні зображення.

Наведено опис нещодавніх результатів, одержаних за допомогою нового методу, по крайових задачах, таких як задачі Гільберта, Діріхле, Неймана, Пуанкаре та Рімана, для рівнянь Бельтрамі та аналогів рівнянь Лапласа в анізотропних і неоднорідних середовищах. Показано, що цей підхід надає можливість вивчати багато проблем математичної фізики з довільними граничними даними, вимірними відносно логарифмічної ємності.

Вивчено напівлінійні диференціальні рівняння в частинних похідних на площині, лінійна частина яких надана в дивергентній формі. Основний результат сформульовано у вигляді теореми факторизації. Ця теорема стверджує, що будь-який слабкий розв'язок такого рівняння можна надати у вигляді композиції слабкого розв'язку відповідного ізотропного рівняння в канонічній області та квазіконформного відображення, узгодженого з матричнозначним вимірюваним коефіцієнтом, який входить до дивергентної частини вихідного рівняння. Свобода у виборі канонічної області надає можливість, зокрема, зняти деякі обмеження на регулярність межі під час дослідження крайових задач для таких напівлінійних рівнянь.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.525.6

Рубрики:

Квазіконформні відображення

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.1

Рубрики:

Диференціальні рівняння другого порядку еліптичного типу

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

We first study the boundary behavior of ring Q-homeomorphisms in terms of Caratheodory's prime ends and then give criteria to the solvability of the Dirichlet problem for the degenerate Beltrami equation del bar f = mu del f in arbitrary bounded finitely connected domains D of the complex plane C.

Generalized solvability of the classical boundary value problems for analytic and quasiconformal functions in arbitrary Jordan domains with boundary data that are measurable with respect to the logarithmic capacity is established. Moreover, it is shown that the spaces of the found solutions have the infinite dimension. Finally, some applications to the boundary value problems for A-harmonic functions are given.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.1 + В161.525.6

Рубрики:

Диференціальні рівняння другого порядку еліптичного типу

Квазіконформні відображення

Шифр НБУВ: Ж24749 Пошук видання у каталогах НБУВ 

The survey is devoted to recent advances in nonclassical solutions of the main boundary value problems such as the well-known Dirichlet, Hilbert, Neumann, Poincare and Riemann problems in the plane. Such solutions are essentially different from the variational solutions of the classical mathematical physics and based on the nonstandard point of view of the geometrical function theory with a clear visual sense. The traditional approach of the latter is the meaning of the boundary values of functions in the sense of the so-called angular limits or limits along certain classes of curves terminated at the boundary. This become necessary if we start to consider boundary data that are only measurable, and it is turned out to be useful under the study of problems in the field of mathematical physics, too. Thus, we essentially widen the notion of solutions and, furthermore, obtain spaces of solutions of the infinite dimension for all the given boundary value problems. The latter concerns to the Laplace equation as well as to its counterparts in the potential theory for inhomogeneous and anisotropic media.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.525.6 + В161.626.1

Рубрики:

Квазіконформні відображення

Диференціальні рівняння другого порядку еліптичного типу

Шифр НБУВ: Ж24749 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Досліджено граничну задачу Гільберта для аналітичних функцій у жорданових областях, які задовольняють квазігіперболічну умову Герінга - Мартіо. З припущенням, що коефіцієнти задачі є функціями зліченно-обмеженої варіації і граничні дані є вимірними відносно логарифмічної ємності, доведено існування розв'язків задачі в термінах кутових меж. Як наслідки отримано відповідні результати для крайових задач Діріхле, Неймана і Пуанкаре для гармонічних функцій.

Вивчено крайову задачу Гільберта для рівнянь Бельтрамі в жорданових областях, які задовольняють квазігіперболічну крайову умову Герінга - Мартіо, взагалі кажучи, без стандартної (A)-умови Ладиженської - Уральцевої. З припущенням, що коефіцієнти задачі є функціями зліченно-обмеженої варіації і граничні дані є вимірними відносно логарифмічної ємності, доведено існування розв'язків цієї задачі. Як наслідки отримано існування некласичних розв'язків крайових задач Діріхле, Неймана і Пуанкаре для узагальнень рівняння Лапласа в анізотропних і неоднорідних середовищах.

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.11

Рубрики:

Теорія потенціалу

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.62

Рубрики:

Диференціальні рівняння у частинних похідних

Шифр НБУВ: Ж24749 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В161.626.1

Рубрики:

Диференціальні рівняння другого порядку еліптичного типу

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ