Збірник виданий з метою допомогти в оволодінні алгоритмами розв'язання задач з диференціальних рівнянь і теорії функції і комплексної змінної. Кожен розділ розпочинається вступом, у якому викладено основні математичні поняття. Охоплено такі розділи: інтегровані типи рівнянь першого і вищих порядків, систем зі сталими коефіцієнтами та елементи теорії стійкості, рівняння з частинними похідними 1-го порядку, комплексні числа, функції комплексної змінної, інтегральна формула Коші та її наслідки, ряди Лорана, лишки і їх застосування. Наведені задачі з різних розділів фізики, які приводять до складання диференціальних рівнянь.

У просторах класичних функцій із степеневою вагою доведено існування і єдиність розв'язку нелокальної задачі Неймана для нерівномірно параболічних рівнянь без обмеження на степеневий порядок виродження коефіцієнтів. Знайдено оцінку розв'язку задачі у відповідних просторах.

Встановлено необхідні та достатні умови вибору оптимального керування системами, що описуються загальною параболічною задачею з обмеженим внутрішнім керуванням.

Розкрито зміст основних теоретичних понять, теорій і законів дискретної математики, запропоновано методи розв'язання практичних задач, наведено приклади. Сформульовано означення множини, розглянуто її види, способи задання та математичні операції. Визначено сутність відношення та функції, встановлено властивості алгоритмів. Охарактеризовано формальні та алгебричні системи, висвітлено питання логіки та числення предикатів. Наведено відомості про різні типи алгебр, елементи комбінаторики та графи.

Раскрыто содержание основных теоретических понятий, теорий и законов дискретной математики, предложены методы решения практических задач, приведены примеры. Сформулировано определение множества, рассмотрены его виды, способы представления и математические операции. Определена сущность отношения и функции, установлены свойства алгоритмов. Охарактеризованы формальные и алгебраические системы, освещены вопросы логики и исчисления предикатов. Представлены сведения о различных типах алгебр, рассмотрены элементы комбинаторики и графы.

Проаналізовано розв'язки основних крайових задач для лінійних параболічних і еліптичних рівнянь, коефіцієнти яких мають довільні степеневі особливості та виродження усередині або на межі області.

Проанализированы решения основных краевых задач для линейных и параболических и эллиптических уравнений, коэффициенты которых имеют произвольные степенные особенности и вырождения в середине или на границе области.

Висвітлено основні положення теорії диференціального й інтегрального числення. Наведено відомості про дійсні числа, функцію однієї незалежної змінної, похідні та диференціали вищих порядків, невизначений і визначений інтеграли, ряди. Розглянуто теорії поля та границь, арифметичні операції над неперервними функціями, методику диференціювання функції однієї змінної, основні методи інтегрування, формулу Тейлора, подвійні, потрійні та поверхневі інтеграли, векторне поле та векторні лінії, оператор Гамільтона, гамма- та бетта-функцію. Наведено приклади застосування визначеного інтеграла для розв'язання задач економічного змісту, описано похідні та дифернціали функції багатьох змінних.

Освещены основные положения теории дифференциального и интегрального исчисления. Приведены сведения о настоящих числах, функции одной независимой переменной, производных и дифференциалах высших порядков, неопределенном и определенном интегралах, рядах. Рассмотрены теории поля и границ, арифметические операции над непрерывными функциями, методику дифференциирования функции одной переменной, основные методы интегрирования, формула Тейлора, двойные, тройные и поверхностные интегралы, оператор Гамильтона, гамма- и бетта-функция. Приведены примеры применения определенного интеграла для решения задач экономического содержания, описаны производные и дифференциалы функций многих переменных.

Розкрито зміст основних понять теорії імовірностей (ТІ) та математичної статистики, зокрема, повторних незалежних випробувань, простору елементарних подій, імовірностей подій. Висвітлено основні теореми ТІ. Наведено закони розподілу та числові характеристики випадкових величин (ВВ), закон великих чисел, межові теореми ТІ. Охарактеризовано багатовимірні ВВ, визначено функції випадкового аргументу. Увагу приділено перевірці статичних гіпотез.

Раскрыто содержание основных понятий теории вероятностей (ТВ) и математической статистики, в частности, повторных независимых испытаний, пространства элементарных событий, вероятностей событий. Освещены основные теоремы ТВ. Приведены законы распределения и числовые характеристики случайных величин (СВ), закон больших чисел, граничные теоремы ТВ. Охарактеризованы многомерные СВ, определены функции случайного аргумента. Внимание уделено проверке статистических гипотез.

У просторах класичних функцій зі степеневою вагою доведено існування й єдиність розв'язку загальної крайової задачі для нерівномірно параболічних рівнянь з довільним степеневим порядком виродження коефіцієнтів. Установлено оцінку розв'язку задачі у відповідних просторах.

У просторах класичних функцій зі степеневою вагою доведено існування та єдиність розв'язку задачі Діріхле для сингулярних нерівномірно еліптичних рівнянь без обмеження на степеневий порядок виродження коефіцієнтів. Установлено оцінку розв'язку задачі у відповідних просторах.

У просторах класичних функцій зі степеневою вагою доведено існування та єдиність розв'язку задачі з косою похідною для сингулярних нерівномірно еліптичних рівнянь без обмеження на степеневий порядок виродження коефіцієнтів. Знайдено оцінку розв'язку задачі у відповідних просторах.

У просторах класичних функцій зі степеневою вагою доведено існування і єдиність розв'язку задачі Коші для нерівномірно параболічних рівнянь без обмеження на степеневий порядок виродження коефіцієнтів. Знайдено оцінку розв'язку задачі у відповідних просторах.

У просторах класичних функцій зі степеневою вагою доведено існування та єдиність розв'язку односторонньої нелокальної крайової задачі для параболічних рівнянь з довільним степеневим порядком виродження коефіцієнтів. Знайдено оцінку розв'язку задачі у відповідних просторах.

У просторах класичних функцій зі степеневою вагою доведено існування і єдиність розв'язку задачі Коші для сингулярних параболічних рівнянь без обмежень на степеневий порядок виродження коефіцієнтів. Встановлено оцінки розв'язку задачі у відповідних просторах.

У просторах класичних функцій зі степеневою вагою доведено існування і єдиність розв'язку задачі Коші для нерівномірно параболічних рівнянь без обмеження на степеневий порядок виродження коефіцієнтів. Встановлено оцінку розв'язку задачі у відповідних просторах.

У просторах класичних функцій зі степеневою вагою доведено коректну розв'язність задачі зі скісною похідною для лінійних параболічних рівнянь з довільним степеневим порядком виродження коефіцієнтів за часовою і просторовими змінними. Знайдено оцінку розв'язку задачі у відповідних просторах. Розглянуто задачу вибору оптимального керування системою, яка описується задачею зі скісною похідною з обмеженим керуванням. Функціонал якості визначається сумою об'ємного та поверхневого інтегралів.

В пространствах классических функций со степенным весом доказана корректная разрешимость задачи Дирихле для параболических уравнений с нелокальным интегральным условием по временной переменной и произвольному степенному порядку вырождения коэффициентов как по временной, так и по пространственным переменным.

  Скачати повний текст

Висвітлено основні положення векторної алгебри, геометричних образів першого та другого порядку, теорії лінійних просторів і систем алгебричних рівнянь, операторів, квадратичних форм. Описано системи координат, властивості визначників, дії над векторами, скалярний і векторний добуток (ВД) двох векторів, мішаний добуток трьох векторів, подвійний ВД, перетворення декартових прямокутних координат, пряму на площині та рівняння площини, прямої в просторі, лінії другого порядку (ДП), спрощення рівняння кривих та поверхні ДП.

Изложены основные положения векторной алгебры, геометрических образов первого и второго порядка, теории линейных пространств и систем алгебраических уравнений, операторов, квадратических форм. Описаны системы координат, свойства определителей, действия над векторами, скалярное и векторное произведение (ВП) двух векторов, смешанное произведение трех векторов, двойное ВП, преобразование декартовых прямоугольных координат, прямая на плоскости и уравнение плоскости, прямой в пространстве, линии второго порядка (ВП), упрощенные уравнения кривых и поверхности ВП.

Викладено основні математичні поняття, розкрито найбільш важливі поняття теорії, зокрема, комплексні числа (КЧ) та їх геометричну інтерпретацію, збіжність послідовностей і рядів КЧ, функції комплексної змінної (КЗ) та їх диференційованість, інтегрування функції КЗ, степеневі ряди та ряди Лорана, особливі точки аналітичних функцій, обчислення залишків та їх застосування до обчислення інтегралів, перетворення Лапласа та його застосування для розв'язання диференціальних систем і рівнянь, принцип аргументу та теорему Руше.

Досліджено параболічну крайову задачу з багатоточковою умовою за часовою змінною для лінійного параболічного рівняння із степеневими особливостями на координатних площинах. Одержаний результат використано для дослідження задачі оптимального керування із внутрішнім і фінальним керуванням.