Розв'язано задачу стійкості нервюри за умов довільного навантаження криволінійних поясів, пружно взаємодіючих з панелями за допомогою компенсаторів. Стінку підкріплено дискретно розміщеним стояком. Наведено числові розрахунки.

З використанням удосконаленого методу ідентифікації крайових умов вирішено задачу стійкості довільно навантаженої та підкріпленої в області пластини, дві сторони якої паралельні, а дві інші - оперті на одновимірні пружні елементи малої кривизни. Пластину розглянуто як елемент тонкостінної просторової системи. За допомогою методу Рітца з застосуванням спеціального базису визначено неоднорідний вихідний стан для різних видів граничних умов по прямолінійній границі. Для одного виду граничних умов з використанням конструктивно-ортотропної моделі розв'язок одержано методом розділення змінних у сполученні з методом ортогоналізації Бубнова - Гальоркіна на криволінійній частині границі. Взаємодію пластини з іншою системою враховано за допомогою одержаних простих залежностей, а вплив системи на пластину зведено до визначення коефіцієнтів жорсткості для двох випадків: дискретного опирання пластини за допомогою одновимірних пружних елементів на стиснуті або розтягнуті одновимірні елементи та неперевної взаємодії її з навантаженими пластинами. Задачу стійкості складної просторової системи зведено до задачі стійкості лише однієї пластини. Проведено числові дослідження з метою підтвердження точності, збіжності та вірогідності одержуваних результатів задачі визначення напружено-деформованого стану та стійкості, а також для виявлення кількісних та якісних залежностей параметра та форми втрати стійкості від різних характеристик самої системи та сусідніх елементів. На підставі результатів параметричних досліджень обгрунтовано можливість застосування різних видів спрощених моделей.

Предложенным ранее способом построены ортонормированные базисные функции для ряда краевых задач в одномерной области. Базисы представляют собой линейную комбинацию полиномов Лежандра.

Методом идентификации краевых условий дано исследование устойчивости тонкостенной пространственной системы типа силового кессона крыла. Рассмотрены вопросы численной реализации названного метода: устойчивость численных процедур, сходимость алгоритмов метода, их оперативность и точность. Подведен итог этапа становления метода и намечены пути дальнейших исследований.

Приведено численное исследование точности, сходимости и устойчивости приближенных решений, полученных методом Рэлея - Ритца с использованием различных базисов для ряда краевых задач: продольно-поперечного изгиба балки, задачи Сен-Венана о кручении вала прямоугольного сечения и задачи изгиба прямоугольной пластины. Сравнена сходимость приближенных решений, построенных на предложенных ранее базисах, а также на собственных функциях сходного оператора задачи, степенных функциях и финитном базисе метода конечного элемента. Показано, что предложенные ранее базисы, удовлетворяющие всем граничным условиям, обладают свойством почти ортогональности в энергетической метрике соответствующих операторов и лучшими свойствами сходимости, что обеспечивает устойчивость самого решения и численной процедуры его отыскания.

Методом Рэлея-Ритца с использованием аналитического базиса получены численные решения ряда геометрически нелинейных задач плоского изгиба балки с учетом деформирования оси. Показана быстрая сходимость и высокая точность приближенных решений. В основу разрешающих уравнений положены теории с различным "уровнем" нелинейности: полностью нелинейная, учет малости деформаций, эластика Эйлера, гибкая нить, учет малости деформаций и квадрата угла поворота и линейная. Рассмотрены задачи чистого изгиба балки, изгиба двухопорной балки, когда опоры могут сближаться, и без сближения опор, а также продольно поперечный изгиб с рассмотрением закритического поведения. Проведен сравнительный анализ результатов.

Рассмотрены сопряженные пары тензоров напряжений и деформаций плоского геометрически нелинейного изгиба балки. Показано, что наиболее простой вид компонент тензоров напряжений и деформаций имеют компоненты симметричного тензора напряжений Био и тензора деформаций Коши. Уравнения равновесия получены с помощью принципа виртуальной работы и непосредственного рассмотрения равновесия элемента. Введением различных упрощающих предположений из полностью нелинейных соотношений получены различные нелинейные постановки задач вплоть до линейной. Во всех случаях для консервативной внешней нагрузки при справедливости закона Гука получены выражения полной потенциальной энергии, которые можно использовать для проведения численного анализа.

Задача обобщенного плоского напряженного состояния при конечных перемещениях формулируется для физически линейных материалов первого и второго порядков, а также для физически нелинейного несжимаемого материала Муни. Разрешающие уравнения физически линейных материалов оказываются вполне определенными для несжимаемого материала, что позволяет провести сравнительный анализ решений всех поставленных задач. На примере задачи растяжения тонкой пластины показана быстрая сходимость приближенных численных решений, построенных при помощи метода Ритца. По результатам исследований сделан вывод о том, что использование геометрически нелинейных соотношений и физически линейного закона только усугубляет погрешность линейной теории упругости.

Предложено приближённое аналитическое решение для краевых задач в прямоугольнике с бигармоническим оператором, на двух противоположных сторонах которого заданы условия типа Дирихле, а на двух других - краевые условия произвольны. Решение построено проекционным методом с помощью линейно независимой и полной системы ортонормированных функций, первые и вторые производные которых квазиортогональны в соответствующем функциональном пространстве. Погрешность аналитического решения связана со степенью неортогональности названных производных применяемых функций. Апостериорный анализ точности доставляемых решений показал, что эти решения для рассмотренных шести краевых задач мало отличаются от так называемых "критериальных" решений, ранее построенных авторами. Дано сравнение результатов предлагаемых решений с результатами, полученными по методу конечного элемента. Сделаны соответствующие выводы.

Исходя из свойства квазиортогональности в энергетической метрике бигармонического оператора системы функций, предложенной авторами, построено приближенное аналитическое решение поставленной краевой задачи. Выполнено полное исследование точности и сходимости полученного решения в различных метриках. Важные поточечные оценки решения и его производных до второго порядка включительно, представленные в виде подробных таблиц и графиков, позволяют сделать вывод о высокой его точности, согласованной с точностью математической модели тонких жестких пластин. Полученные решения дают возможность проектировщику многократно и оперативно применять их в инженерных расчетах.

Предложенная ранее идея построения систем координатных функций на отрезке использована для построения функций, применяемых в проекционных методах при решении краевых задач в областях, состоящих из системы отрезков. Построение таких функций проиллюстрировано на простом примере, а качество решений, доставляемых этими функциями с помощью метода Рэлея-Ритца, - на примере трех типов задач для гибкой рамы: линейного статического деформирования, потери устойчивости и геометрически нелинейного деформирования. Решение геометрически нелинейной задачи представлено в виде диаграммы равновесных состояний, где получены все ветви устойчивого равновесия. Относительная погрешность получаемых решений, оцениваемая как невязка в уравнениях равновесия узла, составляет сотые доли процента.

Показано, что решение означенной задачи может быть получено с любой наперед заданной точностью. Это позволило уточнить известные оценки сверху и снизу собственных значений. Решения конкретных задач в форме разложения в ряд по собственным функциям обладают не только высокой устойчивостью, сходимостью и точностью, но и обеспечивают стремление к нулю невязки в уравнении соответствующих краевых задач. Предлагаемые решения имеют самостоятельное значение как при исследовании состояния конструктивных элементов в виде прямоугольных пластин, так и при исследовании пластинчатых систем, что весьма важно при проектировании аэрокосмической техники, поскольку оказывается возможным получать искомые характеристики системы в алгоритмически замкнутой форме.

В высоких приближениях дано решение, имеющее широкое приложение к задачам механики деформируемого твердого тела обобщенной задачи на собственные значения в прямоугольной области. Подчиненный оператор задачи содержит переменные коэффициенты. Предложена процедура, позволяющая упростить без потери точности структуру собственных функций. Получены с наперед заданной точностью решения восьми краевых задач, описывающих проблему устойчивости прямоугольных пластин при комбинированном нагружении, точные решения которых неизвестны по сей день. Анализ известной формулы взаимодействия при комбинированном нагружении позволил сделать вывод о ее бесполезности. На основании полученных с высокой точностью параметров критической нагрузки при чистом сдвиге в зависимости от удлинения дано уточнение известной приближенной формулы, что позволило рекомендовать эту формулу как практически точную во всем диапазоне изменения параметра удлинения пластины.

Дано решение задачи о спектре в прямоугольнике для составного оператора при главных краевых условиях. Ведущим в составном операторе является бигармонический, а подчиненным - оператор второго порядка с переменными коэффициентами, содержащий параметр. Предложенный подход позволяет определить собственные значения и собственные функции с любой наперед заданной точностью. Все вычислительные процедуры метода (а, следовательно, и сам метод) обладают безусловной устойчивостью, быстрой сходимостью и высокой точностью. Предложена процедура упрощения структуры собственных функций путем выявления их компонент типа "белого шума". Дано решение восьми краевых задач о спектре, отличающихся различным сочетанием действующих в плоскости пластины нагрузок и параметром их интенсивности. Анализ характера решения краевой задачи продольно-поперечного изгиба пластины при параметре интенсивности предварительно напряженного поля, приближающемся к своему критическому значению, позволил сделать вывод, что подобные задачи должны решаться в геометрически нелинейной постановке, хотя критическое состояние еще не достигнуто. Вычисления выполнены с привлечением оригинальных программ, составленных авторами.

В высоких приближениях дано аналитико-численное решение важной задачи теории ортотропной открытой цилиндрической оболочки при однородных главных краевых условиях и произвольной нормальной нагрузке. С привлечением системы координатных функций, предложенной одним из авторов, конструктивно показана устойчивость как процедуры решения системы линейных алгебраических уравнений, так и процесса получения самих решений, сходимость решения к точному в различных метриках и, следовательно, возможность получения решений с любой наперед заданной точностью самих функций и их первых и вторых производных, которыми определяются компоненты напряженно-деформированного состояния оболочки. Полученные результаты позволяют отыскать аналитико-численное решение полностью неоднородной краевой задачи рассматриваемой теории оболочек, что, в свою очередь, обеспечит проведение метода сопряжения конструктивных элементов для оболочечных систем.

В силу линейности краевой задачи функция Грина (ФГ) представлена в виде суммы фундаментального решения для бигармонического оператора и регулярной составляющей, учитывающей как геометрию области, так и краевые условия по границе. Цель работы - построение именно регулярной составляющей ФГ в прямоугольнике при краевых условиях типа Дирихле. Применение систем компьютерной алгебры позволило выписать компоненты регулярной части ФГ в явном виде. Даны априорные и апостериорные оценки гладкости и точности ФГ в области, вплоть до границы и ее угловых точек.

Описано дальнейшее развитие ранее предложенного подхода к решению краевых задач типа Дирихле при изгибе прямоугольной трансверсально-изотропной пластины, описываемой системой трех дифференциальных уравнений с частными производными и имеющей суммарный порядок, равный шести. Подход к решению полностью неоднородной краевой задачи основан на сведении к решению ряда базовых краевых задач. Для реализации метода предложено несколько способов продолжения краевых функций с границы в область и дан сравнительный анализ их эффективности. Показано, что наилучшими аппроксимативными свойствами в смысле сходимости и точности построенных аналитико-численных решений обладают полиномиальные функции.

Работа входит в цикл ранее опубликованных работ о построении аналитико-численных решений краевых задач теории оболочек и пластин при произвольной нагрузке и неоднородных краевых условиях типа Дирихле. В отличие от предыдущих работ рассмотрена оболочка, выполненная из трансверсально-изотропного материала. Внимание уделяется, как и прежде, вопросам устойчивости, сходимости и точности получаемых аналитико-численных решений. Апостериорный анализ выполнен для цилиндрической панели. Численные результаты подробно отображены в многочисленных графиках и таблицах.

В проведении ранее предложенного метода идентификации краевых условий ключевой является проблема решения промежуточных краевых задач. Это достаточно сложные краевые задачи на сопряжение конструктивных элементов разветвленных тонкостенных пространственных систем, каковыми являются несущие поверхности и корпуса конструкции летательных аппаратов. В решении проблемы идентификации краевых условий для выделенного блок-элемента существенную помощь может оказать индустриальный метод конечных элементов. С другой стороны, метод идентификации краевых условий как таковой может помочь методу конечных элементов в плане выбора эффективного типа конечного элемента, характерного для рассматриваемого класса задач механики деформируемого твердого тела. Эта идея - "метод идентификации краевых условий - метод конечных элементов" - положена в основу работы. Путем проведения многочисленных расчетов на частном примере довольно простой, но не тривиальной задачи показана плодотворность объединения двух по сути разных методов.

Рассмотрены две пластины, для которых считаются справедливыми гипотезы Кирхгофа-Лява, заполненные материалом Джона и стандартным материалом второго порядка. На примере обратной задачи о нелинейном изгибе пластин проведен сравнительный анализ действительного распределения в них деформаций и напряжений. Показано, что по толщине пластины напряжения симметричного тензора Био распределяются по закону, который гораздо ближе к линейному, чем закон распределения напряжений второго тензора Пиола-Кирхгофа. Линеаризация напряжений по вырожденной координате приводит к практически одинаковым значениям внутренних моментов и существенно отличающимся мембранным усилиям.