Изложены базовые теоретические положения функционального анализа: теория меры и интеграла Лебега, понятия метрических, банаховых, гильбертовых пространств и операторов, действующих в них. Уделено внимание теории интегральных уравнений и элементам спектральной теории линейных операторов.

Представлена новая задача о малых движениях и нормальных колебаниях гидродинамической системы "вязкая жидкость + система идеальных жидкостей". Приведены условия существования сильного решения соответствующей начально-краевой задачи. В спектральной задаче приведены асимптотические формулы для ветвей собственных значений, сформулированы свойства базисности собственных элементов.

Исследована начально-краевая задача о малых движениях тонкого слоя идеальной жидкости, частично заполняющей некоторый водоем (бассейн, море) и подверженной действию кориолисовых сил. Доказана теорема об однозначной разрешимости этой проблемы в естественных классах функциональных пространств.

Установлена абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств и абстрактного оператора следа, обобщающая формулу. Рассмотрены приложения этой новой формулы к гидродинамическим уравнениям Стокса.

Исследованы собственные колебания тонкого слоя вращающейся идеальной жидкости в приближении малой воды. Установлено, что этот предельный случай дает адекватную модель при исследовании поверхностных волн и не является адекватной моделью при изучении внутренних инерционных волн, порожденных силами Кориолиса.

Розглянуто задачу про стійкість рівноважного стану ідеальної рідини, що знаходиться в циліндричному контейнері з отвором у днищі, з урахуванням гравітаційних і капілярних сил. Одержано спектральну ознаку стійкості рівноважного стану рідини. Доведено, що стійкість рівноважного стану втрачається на зсувних збуреннях верхньої вільної поверхні. Наведено алгоритми обчислення вільної поверхні рідини та межі області її стійкості.

Приведен общий подход к изучению консервативных и диссипативных динамических систем, основанный на теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. Изучены актуальные проблемы линейной гидродинамики и механики, в частности, задачи о колебаниях тела с полостью, частично заполненной идеальной либо стратифицированной жидкостью, системой жидкость - газ, а также три класса диссипативных систем, различающиеся по условию демпфированности. Исследованы проблемы нормальных колебаний тяжелой вязкой жидкости в открытом сосуде, движений сочлененных гидростатов, колебаний вязкоупругой жидкости, поперечных колебаний вязкоупругого стержня с грузом на конце, а также задача сопряжения.

Доведено теореми про розв'язність задач Коші для повних лінійних інтегро-диференціальних рівнянь Вольтерра другого порядку у гільбертовому просторі. Для повного рівняння залежно від підпорядкованості операторних коефіцієнтів розглянуто три основних класи рівнянь.

Изучена проблема статической устойчивости равновесного состояния и устойчивости малых (линейных) движений идеальной несжимаемой жидкости, находящейся в открытом сосуде, в днище которого имеется несколько отверстий. При этом учитываются поле гравитационных сил и силы поверхностного натяжения. Рассмотрен случай, когда равновесная поверхность жидкости является криволинейной, т.е. отвечает произвольному углу смачивания. На основе операторного подхода получены достаточные условия как статической, так и динамической устойчивости, а также предложен способ нахождения равновесной поверхности жидкости.