Запроваджено поняття універсальних багатоточкових інваріантів n-вимірного метричного простору. Визначено властивості їх симетрії в однорідних та ізотропних ріманових просторах і знайдено їх явний вигляд для кожного типу кривини. Показано, що просторам сталої кривини відповідають максимально симетричні інваріанти. Існування в просторі таких універсальних інваріантів забезпечує виконання метричних співвідношень, які задають відповідну елементарну геометрію. Використаний багатоточковий підхід залишає багато можливостей для розвитку і подальших досліджень.

Індекс рубрикатора НБУВ: В181.161

Рубрики:

Геометрія Лобачевського (гіперболічна геометрія)

Шифр НБУВ: Ж72614 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто новий підхід до геометризації електромагнетизму, заснований на специфічній інтерпретації теорії Калуци - Клейна. 5-вимірний простір цієї теорії запропоновано представити як формальний засіб аналізу 4-вимірного простору зі скрутом. Для цього досліджено наслідки параметризації конкретного простору такого типу вздовж ліній відповідного векторного поля, що характеризує його геометрію. Показано, що в межах нового підходу всі результати теорії Калуци - Клейна з деякими відмінностями й узагальненнями можна одержати і для 4-вимірного простору зі скрутом.

Розглянуто приклади застосування у метричному просторі та просторі з індефінітною метрикою універсального багатоточкового інваріанта (УБТ інваріанта), відомого як визначник Келі - Менгера для системи чотирьох точок. Показано, що такий інваріант задає метричну структуру евклідового та псевдоевклідового просторів розмірності n = 2. Для цих просторів також одержано та проаналізовано вирази для УБТ інваріантів, пов'язані із застосуванням відповідних псевдовідстаней. Запропонований підхід можливий і у просторах з розмірністю n >> 2.

Розглянуто проблему визначення універсальних багатоточкових інваріантів однорідних ізотропних просторів. Обгрунтовано необхідність пошуку нових критеріїв для коректного розв'язання цієї проблеми. Відповідний критерій сформульовано та доведено як наслідок запропонованої теореми. Критерій грунтується на екстремальності довжини геодезичної і надає змогу визначити явний вигляд універсальних багатоточкових інваріантів для однорідних ізотропних просторів. В результаті застосування нового критерію показано, що універсальні багатоточкові інваріанти, які мають форму визначників, збігаються з відповідними універсальними багатоточковими інваріантами просторів сталої кривини.