Стисло викладені основні відомості з диференціального числення функції однієї змінної, що потрібні при вивченні як подальших розділів курсу вищої математики, так і інших навчальних дисциплін. Всі розділи обов'язкового курсу вищої математики викладені з єдиних позицій і достатньо насичені як розглянутими прикладами, так і завданнями для самостійного виконання і самоконтролю.

Розглянуто математичну модель течії навколо порожнин в рідині з урахуванням дії збурень різної природи. Запропоновано модель зосередженої дії гідродинамічного тиску, який прикладено на вільних межах кавітаційних каверн.

Розглянуто диференціальне й інтегральне числення функції однієї змінної. Розкрито суть понять множини раціональних, ірраціональних, дійсних чисел, розглянуто числову послідовність як множину дійсних чисел. Висвітлено функції однієї змінної, зокрема, степеневу, показникову, логарифмічну, тригонометричну. Розглянуто властивості та ознаки існування границі, запропоновано класифікацію нескінченних малих. Досліджено властивості невизначеного інтеграла, а також особливості інтегрування дробово-раціональних функцій, тригонометричних, ірраціональних, трансцендентних виразів, наведено методи інтегрування функцій. Розкрито умови існування визначеного інтеграла, а також невласних першого та другого типу, наведено основну формулу інтегрального числення, методи наближеного інтегрування.

Рассмотрены дифференциальные и интегральные исчисления функции одной переменной. Раскрыто содержание понятия множества рациональных, иррациональных, действительных чисел, рассмотрена числовая последовательность как множество действительных чисел. Освещены функции одной переменной, в частности, степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрическая. Рассмотрены свойства и признаки существования границы, предложена классификация бесконечно малых. Исследованы свойства неопределенного интеграла, а также особенности интегрирования дробно-рациональных функций и тригонометрических, иррациональных, трансцендентных выражений, приведены методы интегрирования функций. Раскрыты условия существования определенного интеграла, а также несобственных первого и второго типа, приведены основная формула интегрального вычисления, методы приближенного интегрирования.

Наведено відомості з теорії поля, розглянуто питання похідної векторної функцій за скалярним аргументом, приклади з механіки. Проаналізовано залежності і співвідношення теорії скалярних та векторних полів, висвітлено їх основні різновиди, питання застосування теорії поля з дослідження задач теплопровідності та гідродинаміки.

Приведены сведения по теории поля, рассмотрены вопросы производной и векторной функций по скалярному аргументу, примеры по механике. Проанализированы зависимости и соотношения теории скалярных и векторных полей, освещены их основные разновидности, вопросы применения теории поля по исследованию задач теплопроводности и гидродинамики.

Розглянуто еволюцію порожнин несферичної форми в рідині. Запропоновано математичну модель динаміки порожнини в рідині. Визначено форми еліпсоїдальної порожнини і їх залежності від моменту часу з урахуванням впливу поля сили тяжіння.

На відміну від попередніх досліджень, у роботі запропоновано єдиний підхід до розрахунку форми каверни за кавітаторами складної конфігурації в косому полі сили тяжіння. На його підставі розв'язано нові задачі і встановлено закономірності, які пов'язують форму кавітатора і його орієнтацію з формою вільних меж і їх положеннями в просторі.

На відміну від попередніх досліджень, у роботі запропоновано єдиний підхід до розрахунків форм каверн за кавітаторами з довільним контуром зриву струменів і кутами крену для різних режимів кавітаційного обтікання.

Викладено математичну модель гідродинаміки замкнених вільних поверхонь в рідині, яка використовується для вивчення динаміки еліпсоїдальних порожнин у ході їх розвитку. Основу цієї моделі складає система диференціальних рівнянь, яка дозволяє врахувати вплив на динаміку порожнин збурень різної природи, зокрема таких факторів, як наявність поля сили тяжіння, поверхневого натягу, в'язкості, а також пов'язаних із геометрією самої порожнини. Розв'язок системи диференціальних рівнянь дає можливість визначити гідродинамічні характеристики течії навколо порожнин і побудувати форми порожнин залежно від часу і режимів течії. Встановлено характерні особливості розвитку таких порожнин у разі врахування сили тяжіння та поверхневого натягу.

Розглянуто процес стискання каверни (бульбашки) еліпсоїдної форми в рідині. Запропоновано математичну модель процесу та числову її реалізацію. Досліджено залежності основних розмірів каверни від параметрів еліпсоїда, режиму течії та моменту часу.

Досліджено вплив на тонку просторову вертикальну каверну за вісесиметричним тілом реальних властивостей рідини, зокрема капілярності, в'язкості та тяжіння. Застосовано енергетичну концепцію кавітаційних течій. Розрахунки виконано за допомогою прикладного пакету MathCad. Одержані графіки ілюструють залежність форми і основних параметрів каверні від чисел кавітації, Фруда, Вебера і Рейнольдса.

Викладено результати дослідження можливостей нових пакетів прикладної математики до рішення задач гідродинаміки течій з вільними поверхнями. Показано ефективність пакета Maple в задачах про стискання сферичних порожнин у рідині за наявності полів гідродинамічного тиску, сили тяжіння, поверхневого натягу та в'язкості. Виявлено особливості процесу стискання в цих полях.

Розглянуто наближений метод розрахунку форми суперкаверн, який дозволяє одержати просту формулу для розрахунку форми поперечних перетинів суперкаверни за тілом, що рухається в рідині з урахуванням поля сил тяжіння та поверхневого натягу.

Викладено результати розрахунків і проаналізовано особливості течій біля еліпсоїдальних каверн. Обчислення виконано на базі математичної моделі гідродинаміки замкнених вільних поверхонь в рідині, яка розвинена раніше, а також технології Matlab.

Розглянуто еволюцію порожнин еліпсоїдальної форми в рідині в полі гравітації. Використання технології Maple в реалізації математичної моделі значно спрощує розрахунки форм еліпсоїдальної порожнини від часу та наявності гравітації.