Розглянуто питання побудови алгоритмів представлення обернених функцій від гіперкомплексного змінного. Представлено універсальний підхід, який базується на перетворенні зображень вихідних нелінійних функцій від гіперкомплексного змінного.

Розглянуто процедури виконання модульних операцій у гіперкомплексних числових системах. Визначено місце цих програм у структурі системи комп'ютерної математики Maple. Розглянуто застосування розробленого інструментарію на прикладі задачі розподілу секрету.

Представлено найбільш значимі етапи розвитку представлення інформації гіперкомплексними числами та показано внесок учених ІПРІ НАН України, який відображає значимі результати, одержані в цьому напрямку. Наведено приклади рішення деяких практичних задач із використанням гіперкомплексних чисел.

Розвинуто нові положення теорії гіперкомплексних числових систем (ГЧС) стосовно використання модулярної арифметики та їх застосування, що підвищує ефективність математичного моделювання та розв'язання задач криптографії, механіки твердого тіла, радіоелектроніки. Створено основи аналітично-програмного інструментарію для виконання комп'ютерних обчислень і математичного моделювання за умов представлення даних гіперкомплексними числами з використанням методів модулярної арифметики, для розв'язання складних задач. Розвинуто методи побудови нелінійностей від гіперкомплексної змінної. Виведено аналітичні вирази для логарифму, гіперболічних і тригонометричних арксинусу й арккосинусу, що прискорює розв'язання диференціальних рівнянь від гіперкомплексної змінної. Запропоновано важливу у криптографічній теорії модулярну схему розподілу секрету, яка відрізняється від існуючих представленням інформації гіперкомплексними залишками за сукупністю гіперкомплексних модулів, що збільшує кількість необхідних обчислень для розкодування секрету. Для здійснення математичного моделювання запропоновано розподілення секрету використання нетрадиційних способів, оскільки відсутні аналітичні вирази для функції Ейлера в ГЧС. Розроблено два базових нетрадиційних способи для обчислення оберненої величини, перший з яких заснований на використанні алгоритму Евкліда, а другий - на використанні відповідної фундаментальної теореми Гаусса, що анулює труднощі обчислень заміни функції Ейлера.

Розкрито зміст поняття гіперкомплексних числових систем (ГЧС), наведено методи виконання алгебричних операцій у них. Описано найбільш важливі класи ізоморфізмів, зокрема, ізоморфізми ГЧС другої вимірності, системи триплексних чисел і прямої суми дійсних і комплексних чисел, систем квадриплексних і бікомплексних чисел. Запропоновано практичні методики процесу побудови математичних моделей рекурсивних цифрових фільтрів підвищеної ефективності з гіперкомплексною структурою. Досліджено множинність комунікативних ГЧС другої-четвертої вимірностей, процедури подвоєння та методи перерахування шляхом перебору таблиць множення та за допомогою алгебри шляхів на графах.

Раскрыто содержание понятия гиперкомплексных числовых систем (ГЧС), приведены методы выполнения алгебраических операций в них. Описаны наиболее важные классы изоморфизмов, в частности, изоморфизмы ГЧС второй измеримости, системы триплексных чисел и прямой суммы действительных и комплексных чисел, систем квадриплексных и бикомплексных чисел. Предложены практические методики процесса построения математических моделей рекурсивных цифровых фильтров повышения эффективности с гиперкомплексной структурой. Исследованы множественность коммуникативных ГЧС второй-четвертой измеримостей, процедуры удвоения и методы пересчета путем перебора таблиц умножения и с помощью алгебры путей на графах.

Зазначено, що на шляху розвитку вказаного напрямку тісно сплітаються термінологія та понятійний зміст алгебри і гіперкомплексних числових систем. Вивчено це питання та пов'язані з ним особливості.

Розглянуто різні способи одержання гіперкомплексних числових систем (ГЧС), у тому числі за допомогою методу переходу від нескінченновимірних гіперкомплексних систем шляхом факторизації до скінченновимірних ГЧС. Розглянуто засоби надання та обробки інформації за допомогою ГЧС.

Показано принципову можливість створення багатопроцесорних систем на базі програмованих інтегральних мікросхем з уже реально досягнутим рівнем інтеграції для прямої апаратної реалізації повної системи операцій над кватерніонами.

Construction of the representations of nonlinear functions in hypercomplex numerical systems is of great importance. Here, methods for construction of representations for direct and inverse nonlinear functions in finite-dimensional hypercomplex numerical systems are considered. Examples of the constructed representations for nonlinearities in some hypercomplex numerical systems are listed.

Досліджено клас некомутативних гіперкомплексних числових систем (ГЧС) четвертої вимірності, які побудовано за допомогою некомутативної процедури подвоєння Грасмана - Кліфорда систем другої вимірності. Побудовано всі ГЧС цього класу, досліджено алгоритми виконання операцій у них, а також методи обчислення таких алгебричних характеристик, як спряження, нормування, вигляд дільників нуля. Виведено формули представлення експоненціальної функції у цих системах.

Досліджено клас некомутативних гіперкомплексних числових систем четвертої вимірності, побудованих за допомогою некомутативної процедури подвоєння Грасмана - Кліфорда систем другої вимірності та встановлено їх зв'язки з узагальненими кватерніонами. Запропоновано алгоритми виконання операцій у них, а також методи обчислення таких алгебричних характеристик як спряження, нормування, вигляд дільників нуля.

Синтезовано матричні представлення одного класу некомутативних гіперкомплексних числових систем четвертої вимірності, побудованих за допомогою некомутативної процедури подвоєння Грасмана - Кліфорда систем другої вимірності.

Розглянуто спосіб одержання безлічі неканонічних гіперкомплексних систем за допомогою методу переходу від нескінченновимірної гіперкомплексної системи до скінченновимірних гіперкомплексних систем різного вигляду, залежно від правил множення і методу факторизації. Системи, знайдені за запропонованим методом, починаючи з третьої розмірності, є неканонічними. Одержані системи кратній розмірності можна повторно факторизувати й одержати гіперкомплексну числову систему розмірності удвічі менше.

Розглянуто процес побудови одного класу комутативних гіперкомплексних числових систем (ГЧС) четвертої вимірності за допомогою процедури подвоєння Грасмана - Кліфорда. Синтезовано представлення експоненціальної та логарифмічної функцій від гіперкомплексної змінної у цьому класі, та застосовано ці методи в інших класах комутативних ГЧС.

Розглянуто визначення гіперкомплексного цифрового фільтра та перетворення його передавальної функції до вигляду гиперкомплексної функції. Запропоновано методику вибору гіперкомплексної числової системи для еквівалентування гіперкомплексного фільтра аналога в дійсному вигляді.

Представлено метод вибору гіперкомплексних числових систем (ГЧС) для моделювання цифрових реверсивних фільтрів, що заснований на аналізі виразу норми знаменника гіперкомплексної передавальної функції. Згенеровані ГЧС дозволяють отримати повний набір ступенів оператора зсуву з передавальної функції фільтра, а також мають ізоморфні слабозаповнені таблиці Келі. Перехід до таких систем дозволяє помітно знизити кількість дійсних операцій при функціонуванні фільтра.

Запропоновано використання гіперкомплексних числових систем для опису динамічної мережі та різноманітних впливів у цих мережах. Для спрощення обчислень запропоновано використовувати ізоморфні гіперкомплексні числові системи, таблиця Келі однієї з яких має діагональний вигляд.

Розглянуто структуру алгоритму побудови представлення експоненціальної функції у гіперкомплексних числових системах (ГЧС) високої вимірності за допомогою методу асоційованої системи лінійних диференціальних рівнянь. Наведено необхідні короткі відомості про програмний комплекс гіперкомплексних обчислень (ПКГО), за допомогою якого проведено необхідні громіздкі операції над символьними виразами за побудови представлення експоненти в ГЧС п'ятої вимірності. Робота супроводжується фрагментами програму середовищі ПКГО та результатами символьних обчислень.