Доказано необходимое и достаточное условие топологической эквивалентности гладких функций, заданных на окружности, с конечным числом локальных экстремумов.

  Скачати повний текст

Запропоновано топологічну класифікацію функцій. Одержано результати стосовно встановлення умов топологічної еквівалентності неперервних функцій, заданих у колі та в одиничному крузі. Наведено топологічну класифікацію неперервних функцій зі скінченною кількістю екстремумів, заданих на колі, у термінах їх інваріантів, які дозволяють встановити числа топологічно нееквівалетних функцій. Доведено аналог гіпотези Арнольда в одновимірному випадку. Для неперервної функції, заданої в околі нуля, який є її ізольованим локальним мінімумом (максимумом), знайдено умови, за яких функція є топологічно еквівалентна конусу над плоскою кривою. Для псевдогармонічних функцій, що задані на диску та мають скінченне число екстремумів на межі, побудовано їх інваріант (комбінаторну діаграму) та знайдено необхідні та достатні умови топологічної еквівалентності функцій з даного класу. Вирішено проблему реалізації скіченного зв'язного графа зі строгим частковим порядком на вершинах як комбінаторного інваріанта деякої псевдогармонічної функції.

J. S. Birman, W. W. Menasco ввели і дослідили клас вкладених торів в доповненні до замкнених сплетень, які допускають стандартне плиткове покриття. К. Y. Ng показала, що кожний суттєвий тор, який допускає стандартне плиткове покриття, має східчату модель. Частково наведено комбінаторний і геометричний опис торів з такого класу. Пропоновану роботу можна розглядати як продовження праці, в якій вивчаються розбиття плиткових торів на конструктивні блоки і показано, що такі блоки є подібними в природному сенсі. Зокрема, показано, що кожний тор з класу геометричних плиткових торів, описаних К. Y. Ng, складається виключно з елементарних блоків.

Вивчено роди поліедрів (скінченних клітинних комплексів), тобто класи поліедрів, усі локалізації яких є стабільно гомотопічно еквівалентними. А саме, описано роди поліедрів без скруту розмірності щонайбільше 11. Зокрема, обчислено кількість стабільних гомотопічних класів у цих родах.

Індекс рубрикатора НБУВ: В182.31 + В311

Рубрики:

Математична фізика

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто конструкцію та деякі властивості однорідного розшарування над скінченними метричними просторами. Описано матрицю відстаней, граф сусідства та групу ізометрій розшарування.

Індекс рубрикатора НБУВ: В182.3

Рубрики:

Комбінаторна топологія

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В182.3 + В161.524

Рубрики:

Комбінаторна топологія

Гармонічні функції

Шифр НБУВ: Ж22412/а Пошук видання у каталогах НБУВ 

Індекс рубрикатора НБУВ: В182.3

Рубрики:

Комбінаторна топологія

Шифр НБУВ: Ж41243 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Getzler constructed a flat connection in the periodic cyclic homology, called the Gauss - Manin connection. In this paper we define this connection, and its monodromy, at the level of the periodic cyclic complex. The construction does not depend on an associator, and provides an explicit structure of a DG module over an auxiliary DG algebra. This paper is, to a large extent, an effort to clarify and streamline our work [4] with Yu. L. Daletsky.

Індекс рубрикатора НБУВ: В182.31

Шифр НБУВ: Ж41243 Пошук видання у каталогах НБУВ 

Розглянуто тип опуклих многогранников, які названо тріадно-усіченими симплексами. З точки зору конструктивного об'єкта у векторних просторах розмірності чотири та вищезазначені многогранники є багатовимірними аналогами одного з класичних напівправильних многогранників, а саме усіченого тетраедру. Наведено результати досліджень внутрішньої геометричної структури та комбінаторних характеристик повної сукупності граней тріадно-усічених симплексів у векторних просторах довільної розмірності.

Досліджено задачу пошуку наикоротшого шляху між двома заданими точками на множині геометричних об'єктів. Наведено огляд та аналіз основних алгоритмів.

Рассмотрены конечные точечные конфигурации, расположенные на гиперсфере (полиэдрально-сферические конфигурации, PSCs) и исследованы их алгебро-топологические и тополого-метрические свойства. Поставлены следующие задачи: определение, является ли конечная точечная конфигурация полиэдрально сферической; определение центра и радиуса сферы, описанной вокруг PSC; определение центра и радиуса PSC, т.е. центра и радиуса описанной сферы минимального радиуса; поиск возможных способов редукции задач, поставленных на PSCs, в частности, их декомпозиции на полиэдрально-сферические подконфигурации. Выделены, исследованы особенности и решены поставленные задачи для трех классов PSCs - симплексных, перестановочных и двухуровневых по координатам, в частности, установлена их связь с базовыми множествами евклидовых комбинаторных конфигураций перестановок и булевых векторов. Также исследованы свойства PSCs общего вида, в частности, исследован вопрос определения центра и радиуса PSCs, образованных в результате теоретико-множественных операций над точечными конфигурациями, среди которых есть PSCs. Важной отличительной особенностью PSCs является то, что они совпадают со множеством вершин своей выпуклой оболочки, то есть относятся к классу вершинно расположенных. Соответственно, они образуются в пересечении гиперсферы со своей выпуклой оболочкой. Это позволяет при оптимизации на них применять теорию выпуклых продолжений к функциям, заданным на PSCs. В частности, можно считать, что как целевая функция, так и функциональные ограничения задач оптимизации выпуклые и гладкие. А это, в свою очередь, открывает широкие перспективы создания методов типа ветвей и границ, использующие, с одной стороны, при ветвлении - структурные особенности специальных классов PSCs, а с другой - оценки, получаемые в результате решения выпуклых полиэдральных релаксационных задач либо сферических релаксационных задач с выпуклыми целевыми функциями и функциональными ограничениями. Освещены вопросы разложений PSCs по выпуклым поверхностям, в частности, по семейству вложенных гиперсфер и параллельным плоскостям. С задачей декомпозиции тесно связана задача декомпозиции PSCs на полиэдрально-сферические подконфигурации, решение которой также предложено в данной работе. Полученные результаты имеют самостоятельный теоретический интерес, а также применимы в вычислительных алгоритмах, реализующих полиэдрально-сферические методы решения задач оптимизации на PSCs.