Викладено нове узагальнення матрично-значних допоміжних функцій. Матрично-значна функція є структурою, з елементів якої будуються як скалярна, так і векторна функції Ляпунова, що застосовуються при аналізі стійкості нелінійних систем. Концентрація матрично-значних функцій, що викладена у статті додає гнучкості прямому методу Ляпунова в нелінійній динаміці систем.

Методами теорії динамічних систем досліджуються два класи істотно нелінійних граничних задач. При цьому використовуються дві спеціальні метрики. Показано, що для граничних задач з обох цих класів всі розв'язки прямують (у першій метриці) до напівнеперервних зверху функцій, а при досить загальних умовах асимптотична поведінка майже кожного розв'язку описується (за допомогою другої метрики) деяким стохастичним процесом.

Будується градієнтна процедура для мінімізації нев'язок псевдообернення лінійних динамічних систем дискретної та неперервно-дискретної структур. Оптимізація структури досліджуваної системи виконується по точках спостереження та керування ними. Побудовано необхідні умови оптимальності псевдозв'язку.

Розроблено загальну методику локалізації власних значень матричних поліномів і функцій, що зводиться до розв'язування матричних рівнянь. Для широкого класу рівнянь встановлено теореми, що узагальнюють відомі властивості рівняння Ляпунова. Запропоновано нову методику зображення розв'язків лінійних диференціальних та різницевих систем.

Досліджуються питання існування глобальних атракторів багатозначних напівпотоків та встановлюються деякі топологічні властивості. Розглядається задача апроксимації та залежності глобальних атракторів від параметрів.

Наведено конструктивний спосіб інтегрування динамічних систем з одним із видів симетрії в областях фазового простору, які містять особливу точку і граничний цикл. Головні частини нелінійностей цих систем мають третій порядок. Періодичний розв'язок будується у вигляді рядів, члени яких є періодичними функціями часу. Отримано апроксимації стійкого і нестійкого граничних циклів.

Знайдено деякі умови синхронізації динаміки симетрично збурених систем з квадратичною нелінійністю.

Досліджено властивості пучків траєкторій динамічних систем, приведено необхідні та достатні умови оптимальності множин початкових умов, при яких система є практично стійкою. На основі теоретичних результатів побудовано чисельні алгоритми знаходження максимальних областей стійкості при конкретних обмеженнях.

Узагальнено прямий метод Ляпунова, який може бути використаний для встановлення нових умов рівномірної асимптотичної стійкості розв'язків неточної системи відносно інваріантної рухомої множини.

Розглянуто дво-, трипараметричні многовиди стаціонарних станів динамічної системи. Втрата стійкості у критичному випадку одного нульового кореня матриці лінеаризації пов'язана з дійсними біфуркаціями. Многовиди стаціонарних станів у відповідній точці мають особливості cusp або butterfly.

Наведені результати дослідження практичної стійкості для параметричних систем звичайних диференціальних рівнянь зі збуреннями. Алгоритми розрахунку областей стійкості використовуються для розв'язання задач теорії чутливості.

Розглянуто алгоритми та їх програмну реалізацію на Турбо Паскалі для обробки розрахункових чи експериментальних даних, які необхідно графічно відобразити на екрані комп'ютера. Наводяться підпрограми, які реалізують формування на екрані графіків функціональних залежностей, годографів залежностей, заданих параметрично, та інших плоских фігур. Розглядається математичний апарат та програмна реалізація зображень довільних тривимірних об'єктів, зокрема, аксонометричного зображення поверхні функції двох змінних в декартовій та полярній системах координат, або у вигляді системи ізоліній.

На основі методу неперервного продовження за параметром розроблено метод побудови траєкторії навантаження конструкції, яка має і граничні точки, і точки біфуркації. Метод застосовний для систем нелінiйних алгебраїчних рівнянь, які описують сім'ю екстремалей, які надають мінімального значення повній потенціальній енергії деформації конструкції, і дає можливість знайти всі гілки траєкторії навантаження, які виходять з точок біфуркації, і продовжити розв'язок по будь-якій з них. Метод базується на тому, що власні вектори доповненого якобіана системи рівнянь у розширеному просторі змінних, які відповідають на основній гілці траєкторії навантаження його нульовим власним значенням, є біфуркаційними і утворюють активний підпростір розв'язків рівняння продовження. Причому решта власних векторів утворює пасивний підпростір, у якому лежить вектор продовження по основній гілці навантаження. В результаті весь процес обчислення вектора продовження розв'язку в довільній точці траєкторії навантаження зводиться до визначення власних векторів розширеного якобіана вихідної системи нелінійних алгебраїчних рівнянь, ідентифікації їх за належністю до активного чи пасивного підпросторів і формуванню на їх основі за допомогою аналітичних співвідношень вектора продовження розв'язку.

Розглянуто основні ідеї та поняття, методи і досягнення синергетики без використання складного фізико-математичного апарату. Висвітлено сучасні інтеграційні процеси в науці та освіті, питання застосування універсальних ідей та методів синергетики до вивчення систем різної природи (фізичних, хімічних, медико-біологічних, суспільно-політичних тощо). Обговорено фізико-математичні аспекти загальних принципів і методів теорії самоорганізації та впорядкування у відкритих системах. Наведено результати застосування синергетичних методів у деяких галузях природознавства під час дослідження колективних процесів зародження нової фази, утворення впорядкованих просторових структур і часових ритмічних явищ, впливів зовнішніх факторів на системи різної природи поблизу їх критичних точок.

З єдиної позиції обчислювальної складності розглянуто розв'язки узагальнення класичних проблем стійкості лінійних систем. Питання стійкості вирішені для пучків (взагалі кажучи, континуальних), заданих ступенем характеристичного многочлена і областю допустимих значень їх параметрів. Запропоновано критерії стійкості подібних об'єктів, що базуються на класичних результатах для лінійних систем.

Узагальнено результати досліджень динамічних властивостей нелінійних систем з двома потенціальними ямами. Дані системи є спрощеними моделями складних фізичних об'єктів та хімічних процесів, біологічної поведінки живих структур, суспільно-політичних та економічних явищ. Показано, що найпростішою моделлю таких систем є осцилятор Дуффінга, що описує коливання систем з перескоком типу ферми Мізеса, гнучкої пологої оболонки. Наведено точні розв'язки для періодів вільних коливань, результати дослідження числового й аналогового моделювань. Підкреслено, що застосування гібридних аналогово-обчислювальних комплексів підвищило ефективність досліджень нелінійних систем. Розглянуто відомі та широко використовувані у динамічному аналізі фазові траєкторії Пуанкаре ф(ф).

Розроблено методику дослідження глобальних атракторів і omega-граничних множин неавтономних нескінченновимірних динамічних систем без єдиності. Розглядаються багатозначні напівпроцеси в банахових просторах. Як приклад вивчено систему нелінійних рівнянь в частинних похідних реакції-дифузії.

Раскрыта сущность понятия о явлении динамического хаоса в нелинейных системах (НС). Показано, что открытие хаотических режимов в НС, моделируемых детерминированными соотношениями, явилось одним из важнейших достижений науки второй половины ХХ ст. Приведены начальные сведения о фрактальных структурах, которые можно встретить во многих явлениях природы и которые используются при описании хаотических процессов в НС.

Розвинуто абстрактну теорію багатозначних напівпроцесів, яку можна застосувати для дослідження динаміки розв'язків неавтономних еволюційних об'єктів без єдиності розв'язку. Доведено теореми про існування рівномірних глобальних атракторів багатозначних напівпроцесів і досліджено їх топологічні властивості, а також теорему про напівнеперервну зверху залежність глобального атрактора від параметра.

Получила развитие абстрактная теория многозначных полупроцессов, которая может быть применена для исследования динамики решений неавтономных эволюционных объектов без единства решения. Доказаны теоремы о существовании равномерных глобальных аттракторов многозначных полупроцессов и исследованы их топологические свойства, а также теорема о полунепрерывной сверху зависимости глобального аттрактора от параметра.

Рассмотрены основные идеи и методы теории бесконечномерных диссипативных динамических систем, раскрыто содержание их основных понятий. Приведены теоремы существования глобального аттрактора, а также аттрактора для некоторого класса бесконечномерных диссипативных систем. Предложена упрощенная модель возникновения турбулентности в жидкости. Рассмотрены вопросы гомоклинического хаоса в бесконечномерных системах. В качестве примеров рассмотрены системы, порождаемые нелинейными уравнениями в частных производных, возникающих в различных задачах современной механики сплошных сред.