Досліджено методи й алгоритми, спрямовані на підвищення ефективності експлуатації паралельних обчислювальних систем. Розроблено багатокрокові блокові методи розв'язання задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь, орієнтованих на реалізацію в обчислювальних системах з паралельною архітектурою. Обгрунтовано збіжності та доведено стійкість розроблених методів. Аргументовано, о паралельні алгоритми знаходження початкових значень для блокових методів забезпечують необхідну точність обчислень. Доведено, що розроблені методи пов'язані з одноразовим обчисленням оператора переходу. Розроблені алгоритми рекомендовано для визначення структури сучасних обчислювальних систем.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Висвітлено розвиток теорії задачі Коші для еволюційних рівнянь з операторами узагальненого диференціювання Гельфонда - Леонтьєва, гармонійним осцилятором нескінченного порядку та псевдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку в класах початкових умов, які є узагальненими функціями типу розподілів та ультрарозподілів. Встановлено умови, за яких дані оператори є неперервними у відповідних просторах основних функцій, досліджено властивості фундаментальних розв'язків. Подано зображення розв'язку задачі Коші у вигляді згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцією типу розподілів.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено точність методів без насичення точності для дискретизації абстрактної задачі Коші. У випадку скінченної гладкості початкового вектора для рівнянь I та II порядків у гільбертовому просторі з самоспряженим додатно визначеним сталим оператором одержано нові інтегральні оцінки швидкості збіжності методу перетворення Келі і доведено їх майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком. Показано, що за аналітичного початкового вектора метод перетворення Келі є експоненціально збіжним, а оцінка його точності - непокращуваною за порядком. Побудовано паралельний алгоритм розв'язування задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку зі змінним оператором зі сталою областю визначення. Знайдено апріорні оцінки точності методу, якщо оператор сильно позитивний у банаховім або самоспряжений додатно визначений у гільбертовому просторах. Досліджено стійкість розв'язків та виконано числову реалізацію алгоритму.

Розвинуто теорію періодичної задачі Коші для еволюційних рівнянь з псевдодиференціальними операторами нескінченного порядку та двоточкової задачі для еволюційних рівнянь з псtвдо-Бесселевими операторами нескінченного порядку з початковими та крайовими даними, які є узагальненими функціями типу ультрарозподілів і розподілів. Знайдено умови, за яких зазначені оператори визначені та є неперервними у відповідних просторах основних функцій. Наведено зображення розв'язків, досліджено структуру та властивості фундаментальних розв'язків.

Одержано умови існування та неіснування глобальних розв'язків задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння у випадку початкових даних, що повільно прямують до нуля та належать до деякого вагового простору. Доведено теореми типу Фуджити для виродного параболічного рівняння з нелокальним джерелом. Вперше одержано умови існування глобального розв'язку задачі Коші для квазілінійного параболічного рівняння з дивергентною головною частиною з джерелом, що містить нелокальний множник з від'ємним показником степеня. Розглянуто рівняння з подвійною нелінійністю та з підлінійними коефіцієнтами. Відзначено, що дані результати є новими навіть для напівлінійного рівняння. Знайдено умови глобальної розв'язності та відсутності обмежених розв'язків задачі Коші для природного параболічного рівняння з нелокальним джерелом у випадку початкових функцій, що повільно спадають до нуля.

  Скачати повний текст

Досліджено точність наближених методів без насичення точності для дискретизації абстрактної задачі Коші. У випадку скінченної гладкості початкового вектора для рівнянь 1-го та 2-го порядків у гільбертовім просторі із самоспряженим додатно визначеним сталим оператором одержано нові інтегральні оцінки швидкості збіжності методу перетворення Келі та доведено їх майже (з точністю до логарифма) непокращуваність за порядком. Показано, що за умов аналітичного початкового вектора метод перетворення Келі є експоненціально збіжним, а оцінка його точності - непокращуваною за порядком. Побудовано паралельний алгоритм розв'язання задачі Коші для лінійного диференціального рівняння першого порядку зі змінним оператором із сталою областю визначення. Знайдено апріорні оцінки точності методу, якщо оператор сильно позитивний у банаховім або самоспряжений додатно визначений у гільбертовім просторах. Досліджено стійкість розв'язків і проведено числову реалізацію алгоритму.

  Скачати повний текст

Побудовано та досліджено властивості фундаментального розв'язку задачі Коші для еволюційного рівняння з псевдо-Бесселевим оператором, побудованим за змінним символом. Встановлено розв'язності задачі Коші для такого рівняння в класі обмежених, парних, неперервних на множині дійсних чисел функцій та наведено інтегральне зображення розв'язку. Удосконалено методики дослідження фундаментального розв'язку багатоточкової задачі (ФРБЗ) для еволюційного рівняння з псевдо-Бесселевим оператором, побудованим за сталим символом, яка відрізняється від методики дослідження фундаментального розв'язку двоточкової задачі для такого рівняння. Визначено структури та властивості ФРБЗ, доведено властивості локалізації розв'язку багатоточкової задачі.

Для лінійних параболічних систем побудовано й одержано оцінки матрицанта задачі Коші з імпульсними умовами, а також оцінки похідних розв'язку даної задачі у нормованих просторах Гельдера. Знайдено зображення фундаментальної матриці, за допомогою якої описано розв'язок імпульсної задачі зі змінними коефіцієнтами. Для лінійних параболічних рівнянь вищого порядку побудовано й одержано оцінки матрицанта задачі Коші для рівняння зі змінними коефіцієнтами, встановлено умови, за яких існує періодичний розв'язок задачі з імпульсною дією та розв'язок двоточкової задачі, одержано оцінки їх похідних. Для лінійних параболічних псевдодиференціальних рівнянь вищого порядку побудовано фундаментальну систему розв'язків, доведено леми про перетворення Фур'є фундаментальної системи розв'язків та її похідних, встановлено коректну розв'язність задачі Коші.

Досліджено задачі з нелокальними багатоточковими та нелокальними інтегральними умовами за виділеною змінною й умовами періодичності за рештою координат для строго гіперболічних рівнянь зі змінними коефіцієнтами, а також задачу з початковими умовами для безтипних лінійних рівнянь та систем рівнянь високого порядку зі сталими коефіцієнтами. Встановлено умови коректності та побудовано розв'язки даних задач у вигляді рядів Фур'є. Доведено нові метричні твердження щодо оцінювання знизу малих знаменників, які виникли під час побудови та вивчення властивостей розв'язків розглянутих задач.

Проаналізовано сучасні паралельні високопродуктивні обчислювальні системи (ОС) та алгоритми розпаралелювання. Розглянуто питання розробки й обгрунтування методів підвищення ОС у разі розв'язання звичайних диференціальних рівнянь (ДР), відображення паралельних блокових алгоритмів на структури сучасних високопродуктивних ОС, розробки підходів до розв'язання жорстких ДР та їх систем. Висвітлено особливості паралельного моделювання динамічних процесів рудничної аерології та підйомно-транспортних установок.

Одержано точні необхідні та достатні умови миттєвого виникнення інтерфейсів у задачах Коші для вироджених і сингулярних квазілійних параболічних рівнянь з абсорбцією. Вивчено вплив неоднорідності середовища та неоднорідності абсорбції на явище миттєвого виникнення інтерфейсу. Доведено гладкість інтерфейсу розриву коефіцієнтів для розв'язку параболічного рівняння з розривними коефіцієнтами та розривним джерелом.

Побудовано нові класи псевдодиференціальних операторів і параболічних псевдодиференціальних рівнянь, для яких розвинуто теорію задачі Коші та нелокальних задач з початковими та граничними даними із просторів узагальнених функцій типу розподілів. Увагу приділено сингулярним еволюційним рівнянням з необмеженими за часом коефіцієнтами, псевдо-Бесселевим операторам нескінченного порядку, нелокальним задачам для сингулярних еволюційних рівнянь. Встановлено коректну розв'язність задачі Коші у випадку, коли початкові дані є узагальненими функціями скінченного порядку типу розподілів, досліджено властивість локалізації (локального посилення збіжності) таких розв'язків. Розвинено теорію задачі Коші для еволюційних рівнянь, що містять псевдо-Бесселеві оператори, побудовані за змінними символами.