Розглядаються передумови та загальна схема методу відокремлення змінних, особливості зведення загальної регулярної крайової задачі до задачі з однорідними межовими умовами. Представлені рівняння параболічного та гіперболічного типів на відрізку з однорідними та неоднорідними межовими умовами, рівняння еліптичного типу в прямокутнику, в кругових, циліндричних та сферичних областях, рівняння коливань і теплопровідності та спектральні задачі в багатовимірних областях, описуються циліндричні та пов'язані з ними функції.

Розглядаються особливості виведення основних рівнянь математичної фізики, постановка задач для них, класифікація рівнянь з частинними похідними. Аналізується метод характеристик, метод відокремлення змінних (Ейлера-Фур'є) для рівняння Лапласа. Представлено розв'язування однорідних та неоднорідних крайових задач для гіперболічних рівнянь, задачі Коша і Гурса, крайових задач для параболічних рівнянь. Описується розв'язування крайових задач для еліптичних рівнянь методом функції Гріна, а також зведення крайових задач для рівнянь еліптичного типу до інтегральних рівнянь.

З використанням алгоритму С.Лі, а також нового підходу, розвиненого відомими українськими вченими В.І.Фушичем (1936 - 1997) і Р.З.Ждановим, наведено наукові результати дослідження симетрії хвильових і еволюційних систем. Описано шість класів систем двох нелінійних хвильових рівнянь, на множинах розв'язків яких реалізуються нееквівалентні зображення розширеної алгебри Пуанкаре.

С использованием алгоритма С.Ли, а также нового подхода, развитого известными украинскими учеными В.И.Фушичем (1936 - 1997) и Р.З.Ждановым, приведены научные результаты исследования симметрии волновых и эволюционных систем. Описаны шесть классов систем двух нелинейных волновых уравнений, на множествах решений которых реализуются неэквивалентные изображения расширенной алгебры Пуанкаре.

Наведено класифікацію диференціальних рівнянь з частинними похідними. Розглянуто класичні диференціальні рівняння математичної фізики, зокрема, модельні рівняння гіпер-, параболічного й еліптичного типів, а також задачу Коші, крайові та мішані задачі, коректність за Адамаром. Проаналізовано інтегральні перетворення в задачах теплопровідності неоднорідних середовищ. Охарактеризовано рівняння гіпер- та параболічного типів, викладено методи розв'язання крайових задач.

Приведена классификация дифференциальных уравнений с частичными производными. Рассмотрены классические дифференциальные уравнения математической физики, в частности, модельные уравнения гипер-, параболического и элиптического типов, а также задача Коши, краевые и смешанные задачи, корректность по Адамару. Проанализированы интегральные преобразования в задачах теплопроводности неоднородных сред. Охарактеризованы уравнения гипер- и параболического типов, приведены методы решения краевых задач.

Розкрито зміст основних теоретичних понять і закономірностей математичної фізики. Наведено методику виведення основних рівнянь математичної фізики та постановки відповідних задач. Охарактеризовано класи рівнянь з частинними похідними. Запропоновано методи зведення до канонічного вигляду рівнянь з частинними похідними другого порядку та двома незалежними змінними. Розглянуто особливості розв'язання неоднорідних мішаних задач для гіперболічних рівнянь методом Фур'є, а також рішення задачі Коші та мішаних задач для параболічних рівнянь. Розкрито сутність потенціалів та наведено способи зведення крайових задач для рівнянь еліптичного типу до інтегральних рівнянь. Показано можливості використання методу Фур'є для розв'язування крайових задач для рівнянь еліптичного типу. Розглянуто задачі, що вимагають застосування спеціальних функцій. Розроблено завдання для практичних занять та самостійної роботи.

Раскрыто содержание основных понятий и закономерностей математической физики. Приведена методика вывода основных уравнений математической физики и постановки соответствующих задач. Охарактеризованы классы уравнений с частичными производными. Предложены методы приведения к каноническому виду уравнений с частичными производными второго порядка и двумя независимыми переменными. Рассмотрены особенности решения неоднородных мешанных задач для гиперболических уравнений методом Фурье, а также решения задачи Коши и смешанных задач для параболических уравнений. Раскрыта сущность потенциалов и предложены способы приведения краевых задач для уравнений эллиптического типа к интегральным уравнениям. Показаны возможности использования метода Фурье для решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Рассмотрены задачи, требующие применения специальных функций. Приведены задания для практических занятий и самостоятельной работы.

Наведено розв'язки задачі Штурма - Ліувілля для регулярного випадку, обговорено визначальні властивості функції Гріна, різні методи її побудови та метод побудови фундаментальної функції. Розглянуто загальну схему методу інтегральних перетворень, основні теореми теорії скінченних інтегральних перетворень Ханкеля і Фур'є.

Приведены решения задачи Штурма - Лиувилля для регулярного случая, указаны определяющие свойства функции Грина, разные методы ее построения и метод построения фундаментальной функции. Рассмотрена общая схема метода интегральных преобразований, основные теоремы теории конечных интегральных преобразований Ханкеля и Фурье.

Розглянуто клас лінійних рівнянь з частинними похідними, що поділяються, в свою чергу, на підкласи еліптичних, гіперболічних і параболічних рівнянь. Вивчено модельні задачі для даних рівнянь: задачі Діріхле та Неймана для еліптичних, Коші та деякі граничні задачі - для еволюційних рівнянь. Висвітлено теорію інтегральних рівнянь та особливості їх застосування до розв'язку задач математичної фізики.

Рассмотрен класс линейных уравнений с частичными производными, которые делятся, в свою очередь, на подклассы эллиптических, гиперболических и параболических уравнений. Определены модельные задачи для данных уравнений: задачи Дирихле и Неймана для эллиптических, Коши и некоторые предельные задачи - для эволюционных уравнений. Освещены теория интегральных уравнений и особенности их применения к решению задач математической физики.

Розкрито суть основних понять теорії диференціальних рівнянь з частинними похідними (ДРЧП), запропоновано класифікацію та зведення до канонічного вигляду квазілінійних ДРЧП другого порядку. Висвітлено деякі питання теорії ДРЧП гіперболічного, параболічного й еліптичного типів, охарактеризовано фізичні процеси, які приводять до рівнянь даних типів. Наведено математичне обгрунтування методів побудови розв'язків зазначених задач, розглянуто особливості фізичної інтерпретації здобутих результатів.

Раскрыта сущность основных понятий дифференциальных уравнений с частными производными (ДУЧП), предложены классификация и сведение к каноническому виду квазилинейных ДУЧП второго порядка. Освещены некоторые вопросы теории ДУЧП гиперболического, параболического и эллиптического типов, охарактеризованы физические процессы, приводящие к уравнениями данных типов. Приведено математическое обоснование методов построения решения указанных задач, рассмотрены особенности интерпретации полученных результатов.

Висвітлено основні поняття математичної фізики, розглянуто диференціальні рівняння з частинними похідними. Розглянуто та розв'язано задачу про поздовжені коливання стрижня. Досліджено поперечні коливання струни та запропоновано методи розв'язування задач про такі коливання. Розглянуто задачу про розповсюдження тепла в нерівномірно нагрітому тілі, обмеженому поверхнею. Враховано специфіку методу Фур'є для розв'язування задачі теплопровідності. Показано застосування операційного числення у разі розв'язування диференціальних рівнянь з частинними похідними.

Освещены основные понятия математической физики, рассмотрены дифференциальные уравнения с частными производными. Рассмотрена и решена задача о продольных колебаниях стержня. Исследованы поперечные колебания струны и предложены методы решения задач о таких колебаниях. Рассмотрена задача о распространении тепла в неравномерно нагретом теле, ограниченном плоскостью. Учтены специфика метода Фурье для решения задачи теплопроводности. Показано применение операционного исчисления при решении дифференциальных уравнений с частными производными.

Наведено метод Фур'є, обгрунтовано його можливість. Розкрито головні аспекти застосування методу Фур'є для функцій двох і більше декартових змінних.

Приведен метод Фурье, обоснованы его возможности. Раскрыты основные аспекты использования метода Фурье для функций двух и более декартовых переменных.

Висвітлено основи методу ортогональних поліномів, деякі питання його обгрунтування та застосування до розв'язання інтегральних рівнянь з особливостями у ядрі (у тому числі з нерухомими особливостями). У зв'язку з питаннями числової реалізації методу ортогональних поліномів наведено квадратурну формулу для інтегралів з поліномами Якобі та квадратурну формулу Гаусса. Розглянуто приклади конкретних задач теплопровідності та теорії пружності, для розв'язання яких використано метод ортогональних поліномів. Шляхом зведення до інтегралів типу згортки Мелліна обчислено спеціальні інтеграли з класичними поліномами. Наведено список найбільш корисних і часто використовуваних спектральних співвідношень на скінченному та напівскінченному інтервалах, а також деякі інтеграли з класичними поліномами, що часто зустрічаються під час розв'язання задач математичної фізики (задачі теплопровідності та теорії пружності).

Розглянуто рівняння математичної фізики, теоретичні положення про класифікацію диференціальних рівнянь з переліком класу задач, в яких вони використовуються та наведено методи розв'язування рівнянь. Проведено зведення рівнянь другого порядку до канонічного вигляду за допомогою заміни змінних. Наведено метод сіток для рівняння параболічного типу. Наведено спеціальні функції математичної фізики.

Описаны математические модели физических и технических систем и процессов с уравнениями типа Соболева. Дан обзор методов для исследования моделей. Внимание уделено исследованию математических моделей фильтрации жидкости в трещиновато-пористых породах с распределенным внешним источником и эволюции электромагнитного поля в волноводе с пространственной дисперсной средой. Приведен анализ переходных режимов электрических цепей с сосредоточенными и распределенными параметрами, в которых используются дифференциально-алгебраические уравнения. Изложен ряд понятий и предложений функционального анализа (пространства Соболева, задача Дирихле, общие сведения о линейных неограниченных операторах).

Розглянуто деякі питання теорії лінійних і квазілінійних рівнянь з частинними похідними першого порядку, результати якого використовуються при зведенні до канонічного вигляду рівнянь з частинними похідними другого порядку та обгрунтуванні методу характеристик. Увагу приділено побудові математичних моделей деяких фізичних процесів. Вивчено найпростіші представники відповідно гіперболічних, параболічних та еліптичних рівнянь. Розглянуто постановку основних задач для цих рівнянь та обгрунтовано найуживаніші методи їх розв'язування, а саме: метод характеристик, метод відокремлення змінних Фур'є, метод функцій Гріна та метод потенціалів. Вивчено деякі питання використання спеціальних функцій при розв'язуванні задач математичної фізики.

Подано задачі математичної фізики й основні методи їх розв'язання. Наведено короткі відомості з теорії, розв'язано декілька задач і запропоновано вправи для обов'язкового та самостійного розв'язування та вправи для домашньої роботи. Проведено розв'язування крайових задач для еліптичних рівнянь методом функції Гріна та методом Фур'є.

Розглянуто основні поняття й означення теорії диференціальних рівнянь із частинними похідними (ДРЧП). Наведено класифікацію та зведення до канонічного вигляду квазілінійних ДРЧП другого порядку. Висвітлено деякі питання теорії ДРЧП гіперболічного, параболічного й еліптичного типів. Розглянуто фізичні процеси, які приводять до рівнянь зазначених типів. Особливу увагу приділено строгому математичному обгрунтуванню методів побудови розв'язків розглядуваних задач і фізичній інтерпретації одержаних результатів.

Вміщено довідковий матеріал, приклади розв'язання типових задач, підбірки задач для практичних занять і самостійної роботи з диференціальних рівнянь та рівнянь математичної фізики відповідно до навчальної програми з цієї дисципліни. Обгрунтовано класифікацію та зведення до канонічного вигляду рівнянь із частинними похідними другого порядку.