Викладено основний програмний матеріал, наведено приклади побудови математичних моделей на основі диференціальних рівнянь (ДР), упорядковані за рівнем складності завдання та приклади їх розв'язання. Розглянуто питання нерозв'язних відносно похідної ДР, поняття особливих розв'язків та їх аналіз, системи нормальних ДР і пов'язані з ними поняття стійкості. Наведено методику використання пакетів DERIVE і Maple V для аналітичного, наближеного та графічного розв'язань і дослідження розв'язків ДР.

Рассмотрены дифференциальные уравнения первого порядка, высших порядков, раскрыты их основные понятия и определения. Описаны системы дифференциальных уравнений, а также методы интегрируемых комбинаций и вариации произвольных постоянных.

Розглянуто задачу Коші для лінійних і збурених систем, стійкість систем диференціальних рівнянь першого порядку, межову задачу для рівнянь другого порядку, теорію перших інтегралів автономних систем та їх застосування, елементи варіаційного числення. Висвітлено особливості побудови розв'язку задачі Штурма - Ліувілля, застосування перших інтегралів. Розкрито сутність поняття фазових кривих консервативних систем.

Рассмотрены задача Коши для линейных и возбужденных систем, устойчивость систем дифференциальных уравнений первого порядка, предельная задача для уравнений второго порядка, теория первых интегралов автономных систем и их применение, элементы вариационного счисления. Освещены особенности построения решения задачи Штурма - Лиувилля, использования первых интегралов. Раскрыта сущность понятия фазовых кривых консервативных систем.

Розкрито сутність основних понять теорії диференціальних рівнянь. Охарактеризовано диференціальні рівняння першого порядку, основні класи рівнянь, які інтегруються в квадратурах, рівняння Ріккаті та рівняння у повних диференціалах. Наведено методи розв'язання лінійних диференціальних рівнянь вищих порядків. Описано нормальну систему диференціальних рівнянь, викладено методику її інтегрування методом виключення невідомих функцій. Наведено основні означення та теореми теорії стійкості, наближені методи розв'язування задачі Коші для звичайних диференціальних рівнянь, охарактеризовано лінійні однорідні та неоднорідні рівняння. Розкрито можливості застосування диференціальних рівнянь для розв'язання геометричних, фізичних задач, а також задач механіки та теплопровідності.

Раскрыта сущность основных понятий теории дифференциальных уравнений. Охарактеризованы дифференциальные уравнения первого порядка, основные классы уравнений, интегрирующихся в квадратурах, уравнения Риккати и уравнения в полных дифференциалах. Даны методы решения линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Описана нормальная система дифференциальных уравнений, изложена методика ее интегрирования методом исключения неизвестных функций. Приведены основные определения и теоремы теории стойкости, приближенные методы решения задачи Коши для обычних дифференциальных уравнений, охарактеризованы линейные однородные и неоднородные уравнения. Раскрыты возможности использования дифференциальных уравнений для решения геометрических и физических задач, а также задач механики и теплопроводимости.

Приведена методика построения дифференциального уравнения наименьшего порядка, которому удовлетворяют кривые заданного семейства. Приведены методы интегрирования дифференциальных уравнений, освещены вопросы устойчивости линейных стационарных систем. Охарактеризованы элементы качественной теории дифференциальных уравнений, изложены результаты исследования особой точки однородной системы и абсолютных точек нелинейной системы. Даны примеры решения краевых задач для однородных дифференциальных уравнений. Рассмотрены первый и второй методы Ляпунова, модифицированные методы Рунге - Кутты, а также методы численного решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые представлены материалы о робастной устойчивости и устойчивости линейных стационарных систем, моделирующих эволюционные процессы.

Розглянуто основні поняття, факти, методи та застосування теорії диференціальних рівнянь. Подано інформацію про локальні теореми існування та єдності розв'язків задачі Коші для рівнянь і систем, класифікацію фазових портретів лінійних систем на площині, рівняння Бернуллі, метод функцій Ляпунова. Розкрито особливості дослідження будови фундаментальних матриць лінійних систем зі сталими коефіцієнтами.

У повному обсязі висвітлено матеріал нормативного курсу звичайних диференціальних рівнянь (ДР), а саме: розглянуто ДР першого порядку, лінійні ДР та лінійні ДР другого порядку, висвітлено питання інтегрування нелінійних ДР і систем, узагальнено основні властивості розв'язків систем ДР та охарактеризовано ДР з кількома незалежними змінними. Наведено основні практичні методи розв'язання лінійних і нелінійних рівнянь і систем, елементарні підходи до їх геометричного та якісного аналізу, фундаментальні теоретичні факти (теореми існування, єдності, продовжувальності розв'язків, їх неперервної та диференційованої залежності від параметрів, стійкості за Ляпуновим), а також приклади застосувань викладеної теорії під час дослідження конкретних математичних моделей. Матеріал подано з урахуванням сучасних тенденцій розвитку теорії ДР, її символіки та термінології.

Описано методи інтегрування диференціальних рівнянь першого порядку. Розглянуто елементи постановок задач: Коші, крайової, багатоточкової. Викладено теорію лінійних диференціальних рівнянь \i n\i0-го порядку, описано метод варіації довільних сталих і метод Коші знаходження частинного розв'язку лінійного неоднорідного рівняння. Висвітлено метод знаходження частинного розв'язку для рівнянь зі сталими коефіцієнтами та спеціальною правою частиною. Показано, як звести рівняння Ейлера та Лагранжа до рівняння зі сталими коефіцієнтами. Розкрито загальні поняття про системи звичайних диференціальних рівнянь і в іншому - системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Висвітлено питання стійкості лінійних систем зі змінними та сталими коефіцієнтами, а в двох останніх - перший та другий методи Ляпунова.

Наведено основні поняття та визначення теорії звичайних диференціальних рівнянь. Висвітлено найбільш важливі методи інтегрування та теореми існування розв'язків.

This study guide provides the basic concepts and definitions of differential equation theory. It highlights the most important integration methods and theorems of solution existence.

Подано інформацію про диференціальні рівняння (ДР). Розглянуто основні типи ДР першого порядку, описано їх застосування до розв'язування прикладних задач. Увагу приділено ДР вищих порядків і лінійним ДР n-го порядку. Розглянуто системи лінійних однорідних і неоднорідних ДР першого порядку зі сталими коефіцієнтами. Подано інформацію про використання теорії лінійних ДР до дослідження деяких коливань.

Розглянуто основи класичної теорії звичайних диференціальних рівнянь (ДР), необхідних для складання математичних моделей різних прикладних задач і їх розв'язування. Подано інформацію про ДР першого порядку, зокрема модель Еванса, рівняння Бернуллі, рівняння Ріккаті, рівняння Лагранжа та Клеро. Увагу приділено ДР вищого порядку, рівнянням, що допускають зниження порядку, лінійним ДР вищих порядків, а також системам ДР. Викладено елементи теорії стійкості. Розглянуто поняття про рівняння з частинними похідними першого порядку. Наведено приклади на складання математичних моделей, що описуються ДР. Окрему увагу приділено застосуванню ДР до задач економіки, техніки та природознавства.

Викладено основні методи інтегрування звичайних диференціальних рівнянь. Окрему увагу приділено лінійним рівнянням другого порядку та системам двох рівнянь першого порядку. Математично описано особливості резонансних коливань, зумовлених періодичною силою, що прикладена до коливальної системи. Пояснено принцип дослідження стійкості стаціонарних станів динамічних систем у лінійному наближенні. Загальні положення щодо методів і результатів розв’язання диференціальних рівнянь пояснено простими прикладами та проілюстровано графіками, побудованими за допомогою спеціалізованих комп'ютерних програм.

Розглянуто лінійні та нелінійні звичайні диференціальні рівняння та системи, зокрема, задачі Коші та крайові задачі, теореми існування та єдності розв'язків, побудова функцій від матриць, інтегрування за допомогою степеневих рядів, стійкість за Ляпуновим, елементи теорії керування. Розглянуто базові поняття теорії звичайних диференціальних рівнянь і досліджено деякі рівняння першого порядку. Увагу приділено лінійним диференціальним рівнянням та системи: загальна теорія лінійних рівнянь та систем з неперервними коефіцієнтами; теорія лінійних рівнянь та систем зі сталими коефіцієнтами, включаючи побудову і вивчення властивостей функцій від матриць; базові поняття і факти теорії крайових задач; методи інтегрування степеневими рядами, зокрема функції Бесселя і рівняння Бесселя та їх модифіковані версії. Досліджено нелінійні системи: теореми існування та єдиності, теореми про неперервність і теореми про диференційовність розв’язків задачі Коші; продовження розв’язків задачі Коші; загальні інтеграли і пов’язані з ними способи розв’язання нелінійних систем, а також лінійних і квазілінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними. Розглянуто стійкість за Ляпуновим, зокрема методи Ляпунова; окремий випадок систем зі сталими коефіцієнтами і класифікацію точок спокою для систем другого порядку. Досліджено елементи математичної теорії керування.

Викладено основи теорії звичайних диференціальних рівнянь і рівнянь математичної фізики в межах типових навчальних програм для студентів природничих та інженерно-технічних спеціальностей вищих навчальних закладів. Подано інформацію про диференціальні рівняння першого порядку, рівняння в повних диференціалах, інтегрувальний множник, метод введення параметра, рівняння Лагранжа і Клеро, лінійно залежні та лінійно незалежні функції. Увагу приділено методу варіації довільних сталих, системам неоднорідних рівнянь, класифікації рівнянь в частинних похідних, типам крайових задач для основних рівнянь математичної фізики.