Доведено регулярність напівгруп напівстохастичних матриць, за наявності властного простору кожен елемент яких породжує циклічну групу. З'ясовано умови існування невласного елемента такої групи, для явного подання якого істотно використано характеристики графа, породженого напівстохастичною матрицею. Зазначено, що графоаналітичні характеристики дають явне подання лівого власного вектора напістохастичної матриці, який відповідає власному значенню. На базі використання даної властивості створено новий метод розв'язання лінійних систем рівнянь. Зазначено, що оскільки функції напівстохастичних матриць не є напістохастичними, то їх напівгрупи розширюються до алгебр скінченного рангу, в яких побудовано основи аналізу. Рекомендовано застосовувати напівстохастичні матриці безпосередньо як породжуючі елементи квазімарковських ланцюгів. Залежно від типу породжуючої напівстохастичної матриці виділено та визначено основні класи даних ланцюгів.

  Скачати повний текст

Для елементів матриці Кириченка виписано формули, які виражають ці елементи через велику кількість параметрів, що дозволяє розв'язувати задачі про дослідження властивостей матриць показників. Підраховано розмірність простору Кириченка. Повністю описано перестановки, для яких невід'ємність елементів відповідної матриці Кириченка рівнозначна виконанню кільцевих нерівностей. Для матриць Кириченка розмірності 8, що відповідають всім перестановкам, за винятком циклічної, виписано всі кільцеві нерівності, які є наслідком невід'ємності елементів цих матриць. Побудовано конструкцію квазікронекерівського добутку матриць, яка не виводить за межі класу горенштейнових матриць й узгоджена з дією кронекерівського добутку перестановок. Запропоновано конструкцію двічі впорядкованої множини та за такою множиною побудовано (0, 1)-матрицю показників. Описано матриці показників, які відповідають двічі впорядкованим множинам й описано горенштейнові матриці показників, які відповідають цим множинам. Описано у термінах матриць показників класи топлогічно еквівалентних неперервних відображень інтервалу в себе, напівгрупа яких є скінченною групою.

  Скачати повний текст

Розглянуто тридіагональні блочні якобієві ермітові матриці(ЯЕМ) з рівномірно зростаючими розмірами блоків. Досліджено самоспряженість операторів, породжених ними. Розв'язано пряму та обернену спектральні задачі для таких узагальнених ЯЕМ. Встановлено необхідні та достатні умови, які гарантують те, що матричнозначна міра є спектральною мірою узагальненої ЯЕМ. Показано, що рекурсія Сегьо є не що інше, як модифікація системи рівнянь для знаходження поліномів першого роду для тридіагональної блочної якобієвої унітарної матриці, яка є частковим випадком відповідної системи рівнянь для трьохдіагональної блочної якокобієвої нормальної матриці. Одержано нові достатні та необідні умови узагальненої самоспряженості операторів та їх лінійних збурень, які діють в гільбертових оснащеннях.

  Скачати повний текст

Введено нові матричні функціонали - стовпцеві та рядкові визначники квадратних матриць над тілом, що є композиційною нерозщеплюваною асоціативною алгеброю над своїм центом - полем нульової характеристики. Досліджено їх властивості для довільних квадратних матриць. Показано, що вони мають властивість розкладу Лапласа для стовпцевих - за відповідним стовпцем і для рядкових визначників за відповідним рядком матриці. Доведено, що стовпцеві та рядкові визначники ермітової матриці рівні між собою та приймають своє значення у полі. Це значення внаслідок його однозначності означається як визначник ермітової матриці. Досліджено властивості визначника ермітової матриці через стовпцеві та рядкові визначники. У межах теорії стовпцевих і рядкових визначників введено поняття подвійного визначника квадратної матриці над тілом. Показано, що цей визначник коректно означений, оскільки задовільняє аксіому некомутативного визначника. Засобом стовпцевих і рядкових визначників він задовольняє властивість розкладу його за будь-яким стовпцем чи рядком. Одержано визначникове зображення оберненої матриці через аналоги класичної приєднаної матриці, елементами яких є відповідні праві або ліві подвійні алгебричні доповнення. Розв'язки правої та лівої систем лінійних рівнянь аналітично представлені формулами, що узагальнюють правило Крамера.

  Скачати повний текст

Встановлено стандартну форму щодо пари матриць над адекватним кільцем стосовно введеного поняття узагальненої еквівалентності, а також форму набору багаточленних матриць над довільним полем щодо напівскалярної еквівалентності. З'ясовано умови узагальненої еквівалентності пар матриць та критерій їх діагоналізовності. На підставі встановлених форм розроблено метод факторизації матриць. Описано паралельні факторизації матриць над адекватними кільцями та кільцями багаточленів над довільним полем. Вказано критерії єдиної факторизації матриць та їх дільників. Встановлено умови розкладності багаточленів матриці на унітальні множники залежно від кратностей її характеристичних коренів та степенів елементарних дільників. Описано структуру багаточленних матриць без кратних характеристичних коренів. Встановлено межі щодо кількості лінійних унітальних дільників багаточленної матриці та вказано зв'язки між кількістю дільників і звідністю матриць до кліткових виглядів.

  Скачати повний текст

Описано факторизації матриць над поліноміальними кільцями, кільцями головних ідеалів і деякими кільцями скінченнопороджених головних ідеалів. Наведено для поліноміальних матриць над довільним полем вирази, за якими знаходяться всі їх унітальні дільники та спільні дільники з заданими канонічними діагональними формами за умов паралельності відповідних факторизацій матриць до факторизацій їх канонічних діагональних форм. Описано усі розв'язки трикутного вигляду з одним елементарним дільником та усі розв'язки трикутного вигляду простої структури матричного поліноміального рівняння над алгебрично замкненим полем. Встановлено умови, за яких факторизації клітково-трикутних і клітково-діагональних матриць над областю головних ідеалів асоційовані до відповідних кліткових факторизацій. Запропоновано спосіб побудови таких факторизацій матриць за факторизаціями їх діагональних кліток і розв'язками матричних лінійних рівнянь типу Сильвестра.

  Скачати повний текст