З використанням біортогонального підходу розроблено елементи негаусівського нескінченновимірного аналізу. Визначено елементи аналізу білого шуму, пов'язаного з узагальненою мірою Майкснера. Досліджено властивості просторів основних функцій і деяких операторів на цих просторах. Побудовано елементи віківського числення на просторах узагальнених функцій. Розроблено та досліджено аналоги розширеного стохастичного інтеграла, стохастичних похідних та операторів стохастичного диференціювання на просторах основних та узагальнених функцій. З урахуванням специфіки ортогонального розкладу простору квадратично інтегрваних за узагальненою мірою Майкснера функцій побудовано та досліджено розширений стохастичний інтеграл, стохастичну похідну й оператори стохастичного диференціювання на цьому просторі та його оснащеннях параметризованими просторами основних і регуляторних узагальнених функцій. Одержано формулу інтегрування частинами. Побудовано елементи віківського числення на параметризованих просторах регулярних узагальнених функцій. Зроблено інтерпретацію деяких елементів стохастичного числення на розширеному просторі Фока та його оснощеннях, одержані результати використано для побудови елементів аналізу кольорових шумів.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Для моделей, що описуються рівняннями псевдопараболічного, псевдогіперболічного типів і рівняннями С.Л.Соболєва, побудовано теорію узагальненої оптимізації та необхідні числові методи. Для указаних моделей отримано апріорні оцінки з негативними нормами. Доведено теореми узагальненого розв'язання граничних задач. Знайдено явний вигляд градієнта та досліджено гладкість функціонала якості в задачі оптимізації з загальними керуючою функцією та функціоналом, що дає можливість застосовувати градієнтні наближені методи. Вивчено питання збіжності та обчислювальної стійкості наближених методів оптимізації градієнтного типу. Побудовано аналоги методу Гальоркіна для наближеного розв'язання псевдопараболічних і псевдогіперболічних граничних задач, а також доведено їх сильну збіжність.

  Скачати повний текст

Одержано критерій апроксимації неперервних функцій аналітичними на сепарабельних дійсних рівномірно опуклих банахових просторах із субсиметричним базисом. Досліджено слабкополіномінальну топологію на дійсних банахових просторах, встановлено нові властивості відокремлювальних поліномів і рівномірно аналітичних функцій. Введено *-поліноми та *-аналітичні функції та розглянуто основні їх властивості. Доведено теореми про апроксимацію неперервних функцій *-аналітичними функціями на сепарабельних комплексних банахових просторах і просторах Фреше. Досліджено гільбертові простори (типу Харді) аналітичних і *-аналітичних функцій на одиночному полідиску гільбертового простору. Застосовано *-поліноми для побудови та дослідження комплексних узагальнених функцій на гільбертовому кубі.

  Скачати повний текст

Побудовано операторне перетворення Фур'є - Лапласа у класах узагальнених функцій. Описано властивості просторів основних і узагальнених функцій у довільному конусі, властивості просторів ультрадиференційовних функцій і ультрарозподілів класу Жевре у додатному m-вимірному конусі. Досліджено згорткові алгебри розподілів Шварца з носіями у довільному конусі й ультрарозподілів типу Жевре. Запропоновано новий метод побудови функціонального числення у згорткових алгебрах у формі операторного перетворення Фур'є - Лапласа. На базі побудованої теорії розглянуто певні приклади.

  Скачати повний текст

Удосконалено біортогональний підхід щодо побудови теорії узагальнених функцій нескінченного числа змінних. На просторах Фока виділено та досліджено клас операторів, породжених операторами знищення та народження, з використанням яких вивчено простори основних і узагальнених функцій і побудовано сім'ю операторів узагальненого зсуву. Розроблено ортогональний підхід щодо побудови теорії узагальнених функцій нескінченного числа змінних і показано можливості його застосування щодо вивчення пуассонового аналізу білого шуму.

  Скачати повний текст

Проведено дослідження задач на власні значення для диференціальних і квазідиференціальних рівнянь з узагальненими похідними функцій обмеженої варіації (мірами) у коефіцієнтах. Одержано асимптотику для великих значень параметра фундаментальної системи розв'язків диференціальних і квазідиференціальних рівнянь, з використанням якої досліджено асимптотичну поведінку власних значень та функцій крайових задач. Побудовано спряжені крайові умови та функцію Гріна у випадку диференціальних і квазідиференціальних опрераторів, досліджено її властивості. Знайдено умови перетворення функцій у ряди за власними функціями крайових задач. Одержані результати рекомендовано використовувати для розв'язання прикладних задач механіки.

  Скачати повний текст

Проведено дослідження спектральних задач на класах 1-періодичних узагальних функцій. Вивчено спектри операторів, породжених на скінченному інтервалі несамоспряженими двочленними диференціальними виразами довільного парного порядку з потенціалом, який є 1-періодичною узагальненою функцією, та (пів)періодичними граничними умовами. З використанням методу ізоспектральної трансформації знайдено рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій неасимптотичні (ефективні) й асимптотичні оцінки власних значень. Відзначено високий порядок, сильну сингулярність і несиметричність збурення у сукупності з нелокальними граничними умовами як специфічні особливості дослідження спектральних задач на класах 1-періодичних узагальнених функцій. Результати наукового дослідження використано у процесі вивчення спектральних властивостей одновимірного періодичного самоспряженого оператора Шреддінгера. Знайдено рівномірні на класах 1-періодичних узагальнених функцій асимптотичні оцінки кінців, середин і довжин лакун неперервного спектра. Встановлено кількісну відповідність між гладкістю потенціалу та швидкістю спадання (зростання) довжин лакун як аналогів відомих формул В.О.Марченка у випадку гладкого потенціалу.

  Скачати повний текст

Одержано узагальнення відомої поляризаційної формули для неоднорідних поліномів і аналітичних відображень.

  Скачати повний текст