Досліджено асимптотичне поводження за великих значень часу нелокалізованих розв'язків рівнянь типу Кадомцева-Петвіашвілі (КП) - КП1, КП2 та рівняння Джонсона 1 (РД1). На підставі методу зворотної задачі розсіяння побудовано схему інтегрування рівняння Джонсона. Розроблено метод дослідження асимптотичної поведінки нелокалізованих розв'язків рівнянь типу КП за великих значень часу та доведено, що такі розв'язки розпадаються в області переднього фронту в нескінченний ряд зігнутих асимптотичних солітонів.

  Скачати повний текст

Розроблено асимптотичні методи розв'язань крайових задач з частою зміною крайових умов у густих багаторівневих з'єднаннях. Досліджено асимптотичну поведінку узагальнених розв'язків крайових задач для рівняння Пуассона в густих дворівневих з'єднаннях різних типів з почерговою зміною крайових умов. Розглянуто задачі з почерговою зміною крайових умов Діріхле та Неймана в густих з'єднаннях типів 2:1:1 та 3:2:1, і з почерговою зміною крайових умов Неймана та Фур'є в густому з'єднанні типу 3:2:1. Доведено теореми збіжності та збіжність інтегралів енергії, побудовано асимптотичне наближення та наведено відповідні асимптотичні оцінки для розв'язків даних задач.

  Скачати повний текст

Розроблено асимптотичні методи дослідження крайових задач у густих сингулярно вироджувальних з'єднаннях різних типів та у тонких перфорованих областях з швидко змінною товщиною. Досліджено асимптотичну поведінку розв'язків основних крайових задач математичної фізики, побудовано перші члени асимптотики та доведено асимптотичні оцінки. Вивчено вплив крайових умов, які задаються на межах густих з'єднань, геометричної конфігурації густих з'єднань і збурених коефіцієнтів задачі на асимптотичну поведінку власних значень і власних функцій спектральних задач у густих з'єднаннях. Доведено теореми про існування та концентрацію спектра певного класу самоспряжених оператор-функцій. Запропоновано схему дослідження асимптотичної поведінки власних значень і власних функцій сім'ї самоспряжених компактних операторів залежних від малого параметра. Розроблено схему побудови спеціальних операторів продовження зі збереженням класу простору для розв'язків крайових задач у густих з'єднаннях різних типів. Для симетричного еліптичного оператора другого порядку з швидко осцилюючими коефіцієнтами вивчено асимптотичну поведінку розв'язків мішаної крайової та спектральної задачі у тонкій перфорованій області зі швидко змінною товщиною.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Розглянуто загальну постановку двофазної задачі Стефана з класичною та кінематичною умовою. Доведено, що спектр класичної задачі у загальному випадку є локалізованим вздовж додатної напівосі, а відповідна система кореневих елементів утворює базис Абеля-Лидського. Визначено, що у самоспряженому випадку задача Стефана має дійсний спектр, який складається з додатної гілки та, можливо, зі скінченої кількості від'ємних і нульових власних значень. Досліджено, що відповідна система власних елементів утворює ортонормований базис у деякому гільбертовому просторі. Одержано теорему існування єдиного сильного розв'язку задачі про малі рухи важкої надтекучої рідини у відкритому сосуді.

  Скачати повний текст

З використанням варіаційного підходу побудовано математичну модель нестаціонарного процесу дифузії у середовищах з тонкими покриттями та включеннями. Для врахування малих товщин окремих шарів застосовано гетерогенний підхід, який передбачає зниження вимірності ключових рівнянь математичної моделі в областях тонких включень. Сформульовано варіаційну задачу та досліджено питання коректності її розв'язку. Розроблено числову схему дослідження описаних задач, яка базується на застосуванні напіваналітичного методу скінченних елементів для дискретизації варіаційної задачі стосовно просторових змінних та різницевої схеми Кранка - Ніколсона для дискретизації за часом.

  Скачати повний текст

Досліджено задачі з вільною межею, що виникають у багатьох сферах природничих наук і мають варіаційну природу. Це дозволяє на єдиній методологічній основі досліджувати широкий клас нелінійних межових проблем, а саме: задачі типу Бернуллі за плоского та вісесиметричного випадків; задачі типу Бернуллі за плоского та вісесиметричнго випадків; двовимірні задачі типу Стефана за стаціонарного та квазістаціонарного режимів. За допомогою розробленого математичного апарату встановлено властивості гладкості розв'язку межових задач і доведено аналітичність вільних меж. Обгрунтовано застосування методу Рітца для побудови наближених розв'язків, що збігаються до точних розв'язків, в різноманітних метриках. Досліджено просторову стаціонарну та нестацінарну задачі теплопровідності з урахуванням конвективного руху в рідинний фаз. Запропоновано метод вивчення цієї задачі, що полягає у розкладанні розв'язку в ряд за степенями малого параметра числа Рейнольдса. Одержано рівняння вільної поверхні залежно від числа Рейнольдса Re.

  Скачати повний текст

Розроблено метод задачі Рімана - Гільберта для розв'язання обернених задач, що виникають у теорії розповсюдження електромагнітних хвиль у середовищах складної мікроструктури. Побудовано метод оберненої задачі розсіяння для аналізу початково-крайових задач для нелінійних інтегровних рівнянь. Розроблено системний підхід, з використанням якого доведено теореми єдності визначення параметрів середовищ за даними розсіяння для широкого класу моделей складних середовищ. Одержано характеризацію крайових значень розв'язків нелінійних рівнянь класичного типу (модифікованих рівнянь Кортевега-де Фріза (МКдФ), нелінійного рівняння Шредінгера, синус-Гордон), а також рівняння Камаси - Хольма, який є представником нового класу інтегровних рівнянь. Одержано детальні асимптотики розв'язків початково-крайових задач за великим часом для класичних рівнянь (на прикладі рівняння МКдФ) та рівняння Камаси - Хольма.

  Скачати повний текст

  Скачати повний текст

Досліджено інваріантність квазілінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними другого порядку відносно спеціального класу зображень алгебр Пуанкаре та конформної алгебри. Описано зображення алгебр Пуанкаре та конформної алгебри, які можуть бути задані на множині розв'язків рівнянь нелінійної електродинаміки. Результати, одержані завдяки здійсненій класикації, застосовано для опису нелінійних рівнянь електродинаміки, інваріантних відносно даних алгебр. З точністю до лінійних перетворень прокласифіковано неоднорідні зображення розширеної алгебри Пуанкаре та конформної алгебри у випадку двовимірного векторного поля. Проведено повну класифікацію системи квазілінійних хвильових рівнянь, інваріантних відносно алгебри Пуанкаре та її розширень операторами масштабних і конформних перетворень. Запропоновано інтеративну процедуру нелокального розмноження розв'язків для рівняння синус-Гордон, яка дозволяє будувати ланцюжки розв'язків. Побудовано ланцюжок точних розв'язків для цього рівняння. Досліджено можливість одержання відомих і одержаних розв'язків рівняння синус-Гордон з операторами умовної симетрії. Описано класи операторів умовної симетрії, які відповідають певним класам розв'язків. Знайдено оператори умовної симетрії та відповідні класи розв'язків для багатовимірного хвильового рівняння синус-Гордон.

  Скачати повний текст

Запропоновано спеціальні анзаци для провадження редукції й ефективного пошуку точних розв'язків рівнянь Колмогорова - Петровського - Піскунова, Фішера та інших рівнянь, які мають широке застосування у різноманітних моделях теплопровідності та реакції-дифузії, математичній біології, хімії, генетиці.

  Скачати повний текст

Дисертацію присвячено питанням усереднення нелінійних еліптичних та параболічних крайових задач в областях з тонкими порожнинами. Отримані інтегральні та поточкові оцінки розв'язків спеціальних модельних нелінійних еліптичних та параболічних крайових задач. Досліджена асимптотична поведінка послідовності розв'язків задач, що розглядаються, отримані достатні умови збіжності розв'язків цих нелінійних крайових задач. Впроваджені коректори для наближення таких послідовностей розв'язків. Встановлена певна збіжність градієнтів розв'язків. Для граничних функцій побудовані крайові задачі в фіксованих областях.

  Скачати повний текст