Проведено вивчення топологічних властивостей класів узагальнено опуклих множин багатовимірного дійсного евклідового простору <$E{ roman bold R} sup n>, <$En~symbol У~2>, які називаються m-опуклими і слабко m-опуклими, <$E1~symbol Г~m~<<~n>. Множина простору <$E{ roman bold R} sup n> називається m-опуклою, якщо для кожної точки з доповнення цієї множини до всього простору існує m-вимірна площина, яка проходить через цю точку й не перетинає заданої множини. Відкрита множина простору <$E{ roman bold R} sup n> називається слабко m-опуклою, якщо для кожної точки межі множини існує m-вимірна площина, яка проходить через цю точку й не перетинає заданої множини. Замкнена множина простору <$E{ roman bold R} sup n> називається слабко m-опуклою, якщо вона апроксимується ззовні сім'єю відкритих слабко m-опуклих множин. Ці поняття ввів Юрій Борисович Зелінський. Відома топологічна класифікація (слабко) (n - 1)-опуклих множин простору <$E{ roman bold R} sup n> із гладкою межею: кожна така множина є опуклою, або складається не більше ніж зі двох необмежених компонент зв'язності, або подається декартовим добутком <$EE sup 1 ~times~{ roman bold R} sup {n~-~1 }>, де <$EE sup 1> - підмножина <$Eroman bold R>. Довільна відкрита m-опукла множина, вочевидь, є слабко m-опуклою. Зворотнє твердження, взагалі кажучи, неправильне. Відомо, що існують відкриті множини у просторі <$E{ roman bold R} sup n>, які є слабко (n - 1)-опуклими, проте не (n - 1)-опуклими, і що такі множини складаються не менше ніж із трьох компонент зв'язності. Основними результатами роботи є дві теореми. В першій встановлюється, що для компактних слабко (n - 1)-опуклих і не (n - 1)-опуклих множин у просторі <$E{ roman bold R} sup n>, справедлива така ж оцінка знизу числа їх компонент зв'язності, як і у випадку відкритих множин. Для цього, зокрема, будуються приклади відкритих і замкнених слабко (n - 1)-опуклих і не (n - 1)-опуклих множин з трьома і більше компонентами зв'язності. А також доводитьсяо, що довільна компактна слабко m-опукла і не m-опукла множина простору <$E{ roman bold R} sup n>, <$En~symbol У~2>, <$E1~symbol Г~m~<<~n>, може апроксимуватися ззовні сім'єю відкритих слабко m-опуклих і не m-опуклих множин з тим самим числом компонент зв'язності, що має замкнена. У другій теоремі встановлюється існування слабко m-опуклих і не m-опуклих, <$E1~symbol Г~m~<<~n~-~1,~n~symbol У~3>, областей у просторах <$E{ roman bold R} sup n>. Спочатку будуються приклади слабко 1-опуклих і не 1-опуклих областей <$EE sup p ~symbol <172>~{ roman bold R} sup n> для довільного <$Ep~symbol У~3>. А також доводиться, що область <$E E sup p ~times~{ roman bold R} sup {m~-~1 } ~symbol <172>~{ roman bold R} sup n>, <$En~symbol У~3,~1~symbol Г~m~<<~n~-~1>, слабко m-опукла і не m-опукла.

 Наукова періодика України 

---

Додаткова інформація про автора(ів) публікації:
(cписок формується автоматично, до списку можуть бути включені персоналії з подібними іменами або однофамільці)

• Осіпчук Тетяна Михайлівна (фізико-математичні науки)

  Якщо, ви не знайшли інформацію про автора(ів) публікації, маєте бажання виправити або відобразити більш докладну інформацію про науковців України запрошуємо заповнити "Анкету науковця"