Розв'язування алгебраїчних рівнянь в модульних арифметиках

Лукашова, Т. Д.; Лукашова, М. В.; Марченко, К. В.

У багатьох задачах теорії чисел і дискретної математики доводиться виконувати арифметичні дії над цілими числами (ЦЧ) за певним модулем. За такого підходу кожне ЦЧ можна ототожнити з остачею за цим модулем і розглядати множину лишків як нову, модульну арифметику. Зазначимо, що арифметичні операції над елементами утвореної таким способом алгебричної структури вводяться подібно до того, як вони визначені для ЦЧ, і визначаються відповідними остачами від ділення на модуль. Проте, залежно від модуля, деякі особливості можуть виникати при множенні класів лишків і похідних від нього операцій - піднесенні до степеня та добуванні кореня, а відтак - під час розв'язування рівнянь та їх систем. В арифметиках за простим модулем результати операцій віднімання та ділення на відмінний від нуля елемент також є елементами цих арифметик. Тому в них можна обійтись без від'ємних і дробових числових виразів. Окрім того, в таких арифметиках зберігається більшість відомих алгоритмів розв'язування алгебричних рівнянь та їх систем. З іншого боку, в арифметиках за складеним модулем усталені правила можуть порушуватись, що пояснюється існуванням в них дільників нуля. Незважаючи на те, що виконання арифметичних операцій у скінченних арифметиках значною мірою спирається на теорію конгруенцій і теорію кілець, які вивчаються у курсі алгебри та теорії чисел, дослідженню модульних арифметик, зокрема, особливостям виконання в них арифметичних дій, розв'язуванню рівнянь та їх систем присвячено лише окремі публікації. Розглянуто особливості розв'язування алгебричних рівнянь та їх систем у модульних арифметиках. Досліджено питання розв'язності окремих типів алгебричних рівнянь (зокрема, лінійних і квадратних) і систем лінійних рівнянь у арифметиках за простим модулем, наведено відповідні алгоритми та приклади.


	Наукова періодика України		Фізико-математична освіта