Досліджено деякі властивості поля <$E (Q;~+,~cdot ;~0,~1)> раціональних чисел (РЧ), його підкілець і підгруп адитивної групи (Q; +; 0) і мультиплікативної групи (Q\{0}; <$E cdot ;~1>) цього поля. Одним із основних підкілець поля РЧ є кільце цілих чисел (ЦЧ). Стимулом його розширення до мінімального числового поля, яким є поле РЧ, є проблема розв'язності рівняння ax = b із цілими коефіцієнтами. Умова мінімальності поля, де назване рівняння має розв'язок за <$E а~symbol Щ~0>, надає відповідь на питання про зображення довільного РЧ часткою двох ЦЧ. Отже, множина РЧ <$E Q~=~Z~union~Q>\Z, де Z - множина ЦЧ, а Q\Z - множина дробових чисел (ДЧ). Загальновідомим є однозначне подання будь-якого РЧ <$E q~symbol Щ~0> нескоротним дробом. Проте, однозначних записів ненульових РЧ існує нескінченна кількість. Наприклад, цікавим і корисним у багатьох задачах є однозначне подання РЧ q >> 0 у вигляді: <$E q~=~p sup n a over b>, де p - просте натуральне число (НЧ), <$E n~symbol <174>~Z>, a і b - НЧ, причому (a, b) = (a, p) = (b, p) = 1. Для q << 0 відповідно матимемо: <$E q~=~-p sup n a over b>. Щодо кілець РЧ, розглянуто питання їх дискретності та щільності. Доведено, що щільним буде кожне підкільце поля РЧ, яке містить ДЧ. У ході дослідження властивостей числових полів, яких не має поле РЧ доведено його неповноту без використання ірраціональних чисел. У ході розгляду адитивних і мультиплікативних груп РЧ запропоновано одне з можливих доведень того, що група автоморфізмів групи (Q; +; 0) є ізоморфною групі (Q\{0}; <$E cdot ;~1>), а група автоморфізмів підгруп групи (Q; +; 0) є ізоморфною підгрупам групи (Q\{0}; <$E cdot ;~1>). Цей факт проілюстровано на прикладі групи (Z; +; 0) ЦЧ і групи (Qp; +; 0) p-ових дробів для довільного простого числа p.

  Повний текст PDF - 1.063 Mb    Зміст випуску     Цитування публікації

  Якщо, ви не знайшли інформацію про автора(ів) публікації, маєте бажання виправити або відобразити більш докладну інформацію про науковців України запрошуємо заповнити "Анкету науковця"