Виведено нові теореми про періодичність сум Фібоначчі, зведених за модулем, що рівний кількості доданків у кожній сумі з елементів послідовності Фібоначчі. У статті запропоновано нові властивості лінійних рекурсивних послідовностей, пов'язані з їх сумами. Вивчено теоретико-числові характеристики чисел Фібоначчі та пов'язаних із нею послідовностей. Вперше досліджено необхідні і достатні умови періодичності сум Фібоначчі і умови кратності суми будь-яких послідовних чисел Фібоначчі числу її доданків. Наукова робота виникла навколо пошуку розв'язання однієї авторської задачі, яку було запропоновано на заключному етапі XIX Всеукраїнського турніру юних математиків імені професора М. Й. Ядренка, що проходив у жовтні 2016 р. в м. Чернівці, після цього автором було узагальнено умови турнірної задачі. За допомогою комп'ютерних обчислень перевірено відповідні значення, які задовольняють умову доведеної нами теореми. Актуальність вибраної теми дослідження обумовлена численними застосуваннями послідовності чисел Фібоначчі та їх узагальнень у найрізноманітніших напрямках наукових досліджень, зокрема, вони широко використовуються у математиці, криптографії, кодуванні інформації, фізиці, філософії, ботаніці, біології, геології, кристалографії, медицині, психології, астрономії, економіці, комп'ютерних науках, мистецтві тощо. Досліджені послідовності мають не лише теоретичне, а й прикладне значення, так досліджена послідовність Люка застосовується у кодуванні та криптографії. Розглянуто нові послідовності скінченних сум послідовних елементів, що взагалі є новою послідовністю. Як і класична послідовність Фіббоначчі наші лінійні рекурентні послідовності знайдуть застосування в самій математиці, наприклад, Ю. Матіясевич з використанням чисел Фібоначчі розв'язує відому 10-у проблему Гільберта. Інша з обраних для узагальнення послідовностей, а саме послідовність чисел Люка досліджується і в наш час. Досліджено закономірність зміни періоду послідовності введених нами сум послідовних елементів залежно від того чи є 5 квадратичним лишком в Zp. Наведено строге обгрунтування за допомогою теоретико-числового апарату. Всі твердження можуть бути включені в спецкурси з учбового плану, що орієнтований для підготовки магістрів-педагогів, а також можуть бути використані як позакласний матеріал керівниками гуртків.

  Повний текст PDF - 1.144 Mb    Зміст випуску     Цитування публікації

  Якщо, ви не знайшли інформацію про автора(ів) публікації, маєте бажання виправити або відобразити більш докладну інформацію про науковців України запрошуємо заповнити "Анкету науковця"