Форма Эдвардса эллиптической кривой обладает рядом преимуществ, как перед каноническими кривыми, так и перед другими известными формами представления эллиптических кривых. Главное из них - рекордное быстродействие. Двойная координатная симметрия, характерная для любой кривой Эдвардса над простым полем, обуславливает наличие минимального кофактора 4 в ее порядке. Так, проблема поиска кривой Эдвардса сводится к задаче построения изоморфной канонической кривой с единственной точкой 2-го порядка и двумя точками 4-го порядка. Поставлена задача определения точного числа таких кривых над простым полем. Для решения данной задачи предложен подход, основанный на замене параметров (a, b) канонической кривой парой параметров (a, c), где c - единственный в поле корень кубического уравнения. Как условия существования двух точек 4-го порядка, получена система двух линейных уравнений, связывающих неизвестные параметры с<^>2 и а искомой кривой и произвольные значения квадратичных вычетов (невычетов) поля. Доказаны две леммы в теории квадратичных вычетов, построенной на схеме Гаусса. На основе предложенного подхода и доказанных лемм получены точные формулы расчета числа эллиптических кривых с ненулевыми параметрами а и b и двумя точками 4-го порядка, изоморфных кривым Эдвардса над простым полем. Они определяют точное число кривых Эдвардса. Описан простой алгоритм поиска канонических кривых, изоморфных кривым Эдвардса. Доказано, что для больших полей относительная доля таких кривых близка к 1/4.

  Повний текст PDF - 308.758 Kb    Зміст випуску     Цитування публікації

  Якщо, ви не знайшли інформацію про автора(ів) публікації, маєте бажання виправити або відобразити більш докладну інформацію про науковців України запрошуємо заповнити "Анкету науковця"