Исследование спектральной устойчивости обобщенных методов Рунге – Кутта применительно к начально-краевым задачам для уравнений параболического типа. I. Явные методы

Янковский, А. П.

Исследована спектральная устойчивость обобщенных методов Рунге - Кутта разных порядков точности применительно к численному интегрированию начальной задачи для уравнения переноса. Проведено сравнение приближенных решений, полученных на базе разных обобщенных методов Рунге - Кутта, с точным решением при сложно осциллирующих начальных условиях с большими по модулю производными. Показано, что некоторые классические конечно-разностные схемы интегрирования начально-краевой задачи для уравнения переноса являются следствием последовательного применения обобщенных и обычных методов Рунге - Кутта по всем независимым переменным.Разработан общий алгоритм исследования спектральной устойчивости обобщенных многостадийных методов Рунге - Кутта (МРК) разных порядков точности применительно к численному интегрированию по времени начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка. Выражение для функции спектральной устойчивости получено в двух альтернативных формах: на основе матричных соотношений и в детерминантном виде. Исследована конкретная реализация разных явных обобщенных МРК и их спектральная устойчивость. Показано, что все явные обобщенные МРК обладают условной спектральной устойчивостью и свойством условной монотонности численного решения по времени, нарушение которого приводит к возникновению ложных осцилляций приближенного решения. Функция устойчивости для этих методов является полиномиальной. Продемонстрировано, что в случае использования двухстадийных явных обобщенных МРК получаются схемы типа предиктор-корректор, а в случае задачи нестационарной одномерной теплопроводности на базе одностадийного обобщенного МРК получается условно устойчивая классическая двухслойная явная конечно-разностная схема на четырехточечном шаблоне. Выявлено, что из всех цсследованных явных обобщенных МРК наименее слабым условием спектральной устойчивости обладает пятистадийный обобщенный метод Рунге - Кутта - Мерсона.Рассмотрены конкретные реализации разных неявных обобщенных методов Рунге - Кутта (МРК) применительно к численному интегрированию по времени начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка и исследована их спектральная устойчивость. Показано, что все неявные обобщенные МРК безусловно спектрально устойчивы, но некоторые из них обладают свойством условной монотонности численного решения по времени. Функции спектральной устойчивости неявных обобщенных МРК являются рациональными. Проведено сравнение аналитического решения задачи нестационарной одномерной теплопроводности с ее численными решениями, полученными разными неявными обобщенными МРК. Продемонстрировано, что в этом случае применение одностадийных методов Радо с последующей дискретизацией задачи по пространственной переменной приводит к классической конечноразностной схеме с опережением (схеме Лаасонена), а использование одностадийного метода Гаусса - Лежандра - к шеститочечной симметричной схеме (схеме Кранка - Николсона). Показано, что диагонально неявные обобщенные методы Нёрсетта и Барриджа реализуются примерно так же, как и одностадийные методы Радо и Гаусса - Лежандра, но имеют точность по временному шагу на один - три порядка большую. На основе сопоставления численных и аналитических решений установлено, что для получения практически пригодных численных решений без каких-либо ограничений на шаг по времени целесообразно использовать одно- и трехстадийные обобщенные методы Радо или двух- и четырехстадийные методы Лобатто ШС. Все остальные явные и неявные обобщенные МРК требуют введения ограничений на шаг по времени.Рассмотрены конкретные реализации разных неявных обобщенных методов Рунге - Кутта (МРК) применительно к численному интегрированию по времени начально-краевой задачи для параболического уравнения второго порядка и исследована их спектральная устойчивость. Показано, что все неявные обобщенные МРК безусловно спектрально устойчивы, но некоторые из них обладают свойством условной монотонности численного решения по времени. Функции спектральной устойчивости неявных обобщенных МРК являются рациональными. Проведено сравнение аналитического решения задачи нестационарной одномерной теплопроводности с ее численными решениями, полученными разными неявными обобщенными МРК. Продемонстрировано, что в этом случае применение одностадийных методов Радо с последующей дискретизацией задачи по пространственной переменной приводит к классической конечноразностной схеме с опережением (схеме Лаасонена), а использование одностадийного метода Гаусса - Лежандра - к шеститочечной симметричной схеме (схеме Кранка - Николсона). Показано, что диагонально неявные обобщенные методы Нёрсетта и Барриджа реализуются примерно так же, как и одностадийные методы Радо и Гаусса - Лежандра, но имеют точность по временному шагу на один - три порядка большую. На основе сопоставления численных и аналитических решений установлено, что для получения практически пригодных численных решений без каких-либо ограничений на шаг по времени целесообразно использовать одно- и трехстадийные обобщенные методы Радо или двух- и четырехстадийные методы Лобатто ШС. Все остальные явные и неявные обобщенные МРК требуют введения ограничений на шаг по времени.


	Наукова періодика України		Математичні методи та фізико-механічні поля